- 坐标系
- 共1702题
将y=lnx的图象绕坐标原点O逆时针旋转角θ后第一次与y轴相切,则角θ满足的条件是( )
正确答案
将y=lnx的图象绕坐标原点O逆时针旋转角θ后第一次与y轴相切,则角θ满足的条件是( )
正确答案
将点的直角坐标(,)化为极坐标(ρ>0,θ∈[0,2π))为______.
正确答案
解析
解:=π.
=,
∵点的直角坐标为(,)在第四象限,
∴.
∴此点的极坐标为.
故答案为:.
点P的直角坐标为,则点P的极坐标为( )
正确答案
解析
解:∵点P的直角坐标为(1,),∴ρ==2,
再由 1=ρcosθ,=ρsinθ,可得 θ=,
故点P的极坐标为 (2,),
故选A.
在平面直角坐标系xOy中,曲线C1为(1<a<6,φ为参数).在以O为原点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρ=6cosθ,射线为θ=α,与C1的交点为A,与C2除极点外的一个交点为B.当α=0时,|AB|=4.
(1)求C1,C2的直角坐标方程;
(2)设C1与y轴正半轴交点为D,当时,设直线BD与曲线C1的另一个交点为E,求|BD|+|BE|.
正确答案
解:(1)由ρ=6cosφ,得ρ2=6ρcosφ,所以C2的直角坐标方程是x2+y2-6x=0
由已知得C1 的直角坐标方程是,
当α=0时射线与曲线C1,C2交点的直角坐标为(a,0),(6,0),
∵|AB|=4,∴a=2,C1 的直角坐标方程是①
(2)联立x2+y2-6x=0与y=x得B(3,3)或B(0,0),∵B不是极点,∴B(3,3).
又可得D(1,0),∴,∴BD的参数方程为(t为参数)②
将②带入①得,设D,E点的参数是t1,t2,则
,.
解析
解:(1)由ρ=6cosφ,得ρ2=6ρcosφ,所以C2的直角坐标方程是x2+y2-6x=0
由已知得C1 的直角坐标方程是,
当α=0时射线与曲线C1,C2交点的直角坐标为(a,0),(6,0),
∵|AB|=4,∴a=2,C1 的直角坐标方程是①
(2)联立x2+y2-6x=0与y=x得B(3,3)或B(0,0),∵B不是极点,∴B(3,3).
又可得D(1,0),∴,∴BD的参数方程为(t为参数)②
将②带入①得,设D,E点的参数是t1,t2,则
,.
极坐标系中,点到点的距离是______.
正确答案
2
解析
解:极坐标系中,与点和点对应的直角坐标为()和().
∴点到点的距离即为点()到()的距离,
等于1-(-1)=2.
故答案为2.
在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线C1的极坐标方程为ρ(3cosθ+4sinθ)=m,曲线C2的参数方程为(θ为参数).
(1)若m=12,试确定C1与C2公共点的个数;
(2)已知曲线C3的参数方程为(t为参数),若直线C1与C3相切,求m的值.
正确答案
解:(1)若m=12,直线C1的极坐标方程ρ(3cosθ+4sinθ)=m化为直角坐标方程为 3x+4y-12=0,
曲线C2的参数方程为(θ为参数),化为直角坐标方程为 (x+1)2+(y-2)2=4,
圆心(-1,2)到直线C1的距离等于 =,小于半径,故直线和圆相交,故C1与C2公共点的个数为2.
(2)已知曲线C3的参数方程为(t为参数),化为直角坐标方程为 y=-3x2,∴y′=-6x,
设直线C1与C3相切时的切点M(a,b),故切线的斜率等于-6a=-,解得 a=,
∴b=-3a2=-,
∴m=3a+4b=.
解析
解:(1)若m=12,直线C1的极坐标方程ρ(3cosθ+4sinθ)=m化为直角坐标方程为 3x+4y-12=0,
曲线C2的参数方程为(θ为参数),化为直角坐标方程为 (x+1)2+(y-2)2=4,
圆心(-1,2)到直线C1的距离等于 =,小于半径,故直线和圆相交,故C1与C2公共点的个数为2.
(2)已知曲线C3的参数方程为(t为参数),化为直角坐标方程为 y=-3x2,∴y′=-6x,
设直线C1与C3相切时的切点M(a,b),故切线的斜率等于-6a=-,解得 a=,
∴b=-3a2=-,
∴m=3a+4b=.
极坐标方程表示( )
正确答案
解析
解:由极坐标与直角坐标系的转换公式,
可得到X=即是一条垂直于x轴的直线.
所以答案选择B.
曲线的极坐标方程ρ=4sinθ,化成直角坐标方程为()
正确答案
曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化 成直角坐标方程为()
正确答案
在极坐标系中,作出下列各点:
A(3,0)、B(-3,)、C(5,)、D(-2,π)、E(0,-)
正确答案
解:在极坐标系中,作出下列各点,如图所示:
解析
解:在极坐标系中,作出下列各点,如图所示:
在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为:(t为参数),它与曲线C:(y-2)2-x2=1交于A,B两点.
(1)求|AB|的长;
(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点P的极坐标为,求点P到线段AB中点M的距离.
正确答案
解:(1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得7t2+60t-125=0
设A,B对应的参数分别为t1,t2,则 .
∴.
(2)由P的极坐标为,可得xp==-2,=2.
∴点P在平面直角坐标系下的坐标为(-2,2),
根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为.
∴由t的几何意义可得点P到M的距离为.
解析
解:(1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得7t2+60t-125=0
设A,B对应的参数分别为t1,t2,则 .
∴.
(2)由P的极坐标为,可得xp==-2,=2.
∴点P在平面直角坐标系下的坐标为(-2,2),
根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为.
∴由t的几何意义可得点P到M的距离为.
(极坐标与参数方程选做题)
在极坐标系中,点A的坐标为,曲线C的方程为ρ=2cosθ,则OA(O为极点)所在直线被曲线C所截弦的长度为______.
正确答案
解:由点A的坐标为,∴点A的横坐标x==2,纵坐标y==2,∴A(2,2),K0A=.
∴直线OA的方程为:y=x.
由曲线C的方程为ρ=2cosθ,则ρ2=2ρcosθ,∴x2+y2=2x.
联立,解得,,∴直线与曲线的交点为(0,0),(1,1).
因此所求的弦长==.
故答案为.
解析
解:由点A的坐标为,∴点A的横坐标x==2,纵坐标y==2,∴A(2,2),K0A=.
∴直线OA的方程为:y=x.
由曲线C的方程为ρ=2cosθ,则ρ2=2ρcosθ,∴x2+y2=2x.
联立,解得,,∴直线与曲线的交点为(0,0),(1,1).
因此所求的弦长==.
故答案为.
(坐标系与参数方程)
在极坐标系中,已知两点A、B的极坐标分别为(2,),(4,).则△ABO(其中O为极点)的面积为______.
正确答案
2
解析
解:由题意可得|OA|=2,|OB|=4,∠AOB=-=,
则△ABO(其中O为极点)的面积为 |OA|•|OB|•sin∠AOB=×sin=2,
故答案为 2.
以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为:,曲线C2的参数方程为:(α为参数,t>0),点N的极坐标为.
(1)若M是曲线C1上的动点,求M到定点N的距离的最小值;
(2)若曲线C1与曲线C2有两个不同交点,求正数t的取值范围.
正确答案
解:(1)在直角坐标系xOy中,由x=4cos=4×,y=4sin=4×=2,
可得点.
由,得,即,
.
∴曲线C1为圆,圆心为,半径为1,
∴|O1N|=3,
∴|MN|的最小值为3-1=2;
(2)由(1)知,曲线C1为圆,
曲线C2的参数方程为:(α为参数,t>0),
即,移向后平方作和得:
,
∴曲线C2为圆心为,半径为t的圆,
∵曲线C1与曲线C2有两个不同交点,
∴,解得,
∴正数t的取值范围是.
解析
解:(1)在直角坐标系xOy中,由x=4cos=4×,y=4sin=4×=2,
可得点.
由,得,即,
.
∴曲线C1为圆,圆心为,半径为1,
∴|O1N|=3,
∴|MN|的最小值为3-1=2;
(2)由(1)知,曲线C1为圆,
曲线C2的参数方程为:(α为参数,t>0),
即,移向后平方作和得:
,
∴曲线C2为圆心为,半径为t的圆,
∵曲线C1与曲线C2有两个不同交点,
∴,解得,
∴正数t的取值范围是.
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