坐标系_章节学习

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题型：填空题

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填空题

曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标方程为______．

正确答案

将原极坐标方程ρ=4sinθ，化为：

ρ2=4ρsinθ，

化成直角坐标方程为：x2+y2-4y=0，

即x2+（y-2）2=4．

故答案为：x2+（y-2）2=4．

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题型：填空题

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填空题

在极坐标系中，圆ρ=-4cosθ的圆心极坐标为______．

正确答案

圆ρ=-4cosθ 即ρ2=-4ρcosθ，即 x2+y2+4x=0，即（x+2）2+y2=4，表示以（-2，0）为圆心，半径等于2的圆．

而点（-2，0）的极坐标为（2，π），

故答案为：（2，π）．

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题型：填空题

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填空题

直角坐标系中的点（2，-2）的极坐标为______．

正确答案

∵直角坐标系中的点的坐标为（2，-2），

∴ρ==2，tanθ=（＜θ＜2π），

∴θ=．

∴直角坐标系中的点（2，-2）的极坐标为(2，)．

故答案为(2，)．

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题型：填空题

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填空题

（坐标系与参数方程选做题）

在极坐标系中，已知圆ρ=4cosθ的圆心为A，点B(6，)，则线段AB的长为______．

正确答案

∵圆ρ=4cosθ的圆心为A（2，0），

点B(6，)的直角坐标为（-6，6）

∴由两点间的距离公式，得AB==10；

故答案为：10．

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题型：填空题

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填空题

已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为(4，)，则|CP|=______．

正确答案

圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆的方程为：x2+y2=4x，圆心为C（2，0），

点P的极坐标为(4，)，所以P的直角坐标（2，2），

所以|CP|==2．

故答案为：2．

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题型：填空题

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填空题

极坐标方程ρ=2化为直角坐标方程是______．

正确答案

极坐标方程ρ=2 即 ρ2=4，∴x2+y2=4，

故答案为：x2+y2=4．

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题型：简答题

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简答题

在直角坐标系中，直线l经过点P（3，0），倾斜角α=．

（1）写出直线l的参数方程；

（2）以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρ=4cosθ与直线l相交于A、B两点，求AB中点坐标及点P到A、B两点距离之积．

正确答案

（1）由于直线l经过点P（3，0），倾斜角α=．

故直线l的参数方程为，即(t为参数)；

（2）∵C：ρ=4cosθ，∴x2+y2=4x，

将(t为参数)代入x2+y2=4x

整理得t2+t-3=0，

∵△＞0，∴t1+t2=-，即=-

代入(t为参数)

得AB中点坐标为(，-)，

故P到A、B两点距离之积为|t1•t2|=3．

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题型：填空题

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填空题

椭圆ρ=的短轴长等于______．

正确答案

由椭圆的方程可得 ρ(0)=a+c=1，ρ(π)=a-c=．故a=，c=⇒b=，从而2b=．

故答案为 2b=．

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题型：填空题

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填空题

在极坐标系中，已知A（3，），B（3，），则A、B两点的距离为______．

正确答案

由于点A（3，），B（3，），

在三角形OAB中，OA=OB=3，∠AOB=，

根据余弦定理得：

AB2=OA2+OB2-2OA×OBcos∠AOB=9+9-2×3×3×cos(-)=9，即AB=3

则A、B两点间的距离是3．

故答案为：3

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题型：填空题

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填空题

在极坐标系中，直线θ=（ρ∈R）截圆ρ=2cos(θ-)所得弦长是______．

正确答案

由直线θ=化为普通方程为x-y=0，

由圆ρ=2cos(θ-)得：ρcosθ+ρsinθ=ρ2，

化为直角坐标方程为（x-）2+（y-）2=1，

其圆心是C（，），半径为1．且圆心在直线x-y=0上，

由故l被曲线C所截得的弦长为2r=2．

故答案为：2．

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题型：填空题

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填空题

已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．则直线l的倾斜角为______；设点Q是曲线C上的一个动点，则点Q到直线l的距离的最小值为______．

正确答案

由直线l的参数方程为（t为参数），得y=x+1，则直线l的斜率为k=，

设l的倾斜角为α，由0≤α＜π，且tanα=，所以α=；

由曲线C的参数方程为（θ为参数），则（x-2）2+y2=1．

所以曲线C为以（2，0）为圆心，以1为半径的圆，

则圆心C到直线l的距离为d==，

所以曲线C上的一个动点Q到直线l的距离的最小值为-1=．

故答案为，．

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题型：简答题

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简答题

在极坐标系中,O为极点,半径为2的圆C的圆心的极坐标为．

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)在以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立的直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），直线与圆C相交于A，B两点，已知定点,求|MA|·|MB|．

正确答案

(1) (2)

试题分析：

(1)把圆心极坐标转化为直角坐标,在直角坐标系里求出圆的方程,再利用极坐标与直角坐标的转化公式,把圆的直角坐标方程转化为极坐标方程,化简即可得到最终结果.

(2)把直线l的参数方程转化为普通方程后,利用联立方程式与韦达定理相结合,采用舍而不求的方式求出|MA|·|MB|的值.

试题解析：(1)由题得,圆心的直角坐标为,所以圆的直角坐标方程为,再利用极坐标与直角坐标的转化公式可得,化简可得,故圆的极坐标方程为.

（2）由题得直线的普通方程为,设A(),B(),联立圆与直线方程得.又|MA|·|MB|

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题型：填空题

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填空题

(坐标系与参数方程选做题)极坐标方程所表示的曲线的直角坐标方程是。

正确答案

(x－1)2＋(y－1)2＝2

由得=，

，化简得(x－1)2＋(y－1)2＝2

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题型：填空题

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填空题

把所给的极坐标方程ρ=-4cosθ+sinθ化成直角坐标方程为______．

正确答案

∵ρ=-4cosθ+sinθ，

∴ρ2=ρsinθ-4ρcosθ，

∴x2+y2=y-4x，

即x2+y2+4x-y=0．

故答案为：x2+y2+4x-y=0．

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐V标方程为，M，N分别为曲线C与x轴、y轴的交点．

（1）写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；

（2）求直线OM的极坐标方程．

正确答案

（1）点M的极坐标为(2,0)，点N的极坐标为;（2），ρ∈R．

试题分析：（1）先利用三角函数的差角公式展开曲线C的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．（2）先在直角坐标系中算出点M的直角坐标为(2,0)，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标和直线OM极坐标方程即可．

解：（1）由，

得ρcos θ＋ρsin θ＝1，

∴曲线C的直角坐标方程为，

即x＋－2＝0．

当θ＝0时，ρ＝2，∴点M的极坐标为(2,0)；

当时，，∴点N的极坐标为．

（2）由（1）得，点M的直角坐标为(2,0)，点N的直角坐标为，

直线OM的极坐标方程为，ρ∈R．

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