坐标系_章节学习

1

题型：单选题

|

单选题

将y=lnx的图象绕坐标原点O逆时针旋转角θ后第一次与y轴相切，则角θ满足的条件是（　　）

Aesinθ=cosθ

Bsinθ=ecosθ

Cesinθ=l

Decosθ=1

正确答案

B

解析

解：设y=f（x）=lnx的图象的切线的斜率为k，设切点坐标为（x0，y0），

则由题意可得，切线的斜率为 k==，再由导数的几何意义可得 k=f′（x0）=，

∴=，∴x0=e．

再由θ的意义可得，lnx的图象的切线逆时针旋转角θ后落在了y轴上，

故有tanθ===x0=e，∴sinθ=ecosθ，

故选：B．

1

题型：简答题

|

简答题

已知极坐标系下曲线C的方程为ρ=2cosθ+4sinθ，直线l经过点，倾斜角．

（Ⅰ）求直线l在相应直角坐标系下的参数方程；

（Ⅱ）设l与曲线C相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．

正确答案

解：（Ⅰ）∵直线l经过点，∴，y==1，∴点P（1，1）．

∵直线l的倾斜角，∴斜率k==．

∴直线l的参数方程为．

（Ⅱ）∵曲线C的方程为ρ=2cosθ+4sinθ，∴ρ2=2ρcosθ+4ρsinθ，

∴x2+y2=2x+4y，

∴圆C：（x-1）2+（y-2）2=5，

把直线l的参数方程代入圆的方程得

，

∴t1t2=-4．

∴|t1t2|=4即为点P到A、B两点的距离之积．

解析

解：（Ⅰ）∵直线l经过点，∴，y==1，∴点P（1，1）．

∵直线l的倾斜角，∴斜率k==．

∴直线l的参数方程为．

（Ⅱ）∵曲线C的方程为ρ=2cosθ+4sinθ，∴ρ2=2ρcosθ+4ρsinθ，

∴x2+y2=2x+4y，

∴圆C：（x-1）2+（y-2）2=5，

把直线l的参数方程代入圆的方程得

，

∴t1t2=-4．

∴|t1t2|=4即为点P到A、B两点的距离之积．

1

题型：单选题

|

单选题

以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，点M的极坐标是，则点M直角坐标是（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：设M（x，y），由题意得，x=4cos=-2，y=4sin=2，

所以点M的直角坐标为（-2，2），

故选B．

1

题型：填空题

|

填空题

已知点P的极坐标是（2，），则它的直角坐标是______．

正确答案

（，-1）

解析

解：设P（x，y），则==，y==-=-1．

∴P（，-1）．

故答案为：P（，-1）．

1

题型：简答题

|

简答题

已知直线l是过点P（-1，2），方向向量为=（-1，）的直线，圆方程ρ=2cos（θ+）

（1）求直线l的参数方程

（2）设直线l与圆相交于M，N两点，求|PM|•|PN|的值．

正确答案

解：（1）∵，∴直线的倾斜角α=，

∴直线的参数方程为，（t为参数）

即（t为参数）

（2）∵ρ=2（cosθ-sinθ）=cosθ-sinθ，

∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ，

∴x2+y2-x-y=0，将直线的参数方程代入得t2+2t+6-2=0，

∴|t1t2|=6-2．

解析

解：（1）∵，∴直线的倾斜角α=，

∴直线的参数方程为，（t为参数）

即（t为参数）

（2）∵ρ=2（cosθ-sinθ）=cosθ-sinθ，

∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ，

∴x2+y2-x-y=0，将直线的参数方程代入得t2+2t+6-2=0，

∴|t1t2|=6-2．

1

题型：填空题

|

填空题

化极坐标方程3ρcosθ+4ρsinθ=2为直角坐标方程为______．（请化为一般方程）

正确答案

3x+4y-2=0

解析

解：将原极坐标方程3ρcosθ+4ρsinθ=2，

化成直角坐标方程为：3x+4y=2，即3x+4y-2=0．

故答案为：3x+4y-2=0．

1

题型：简答题

|

简答题

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．

（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；

（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．

正确答案

解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．

∴ρ2=2，化为x2+y2=，

配方为=3．

（II）设P，又C．

∴|PC|==≥2，

因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．

解析

解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．

∴ρ2=2，化为x2+y2=，

配方为=3．

（II）设P，又C．

∴|PC|==≥2，

因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．

1

题型：填空题

|

填空题

已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．则直线l的倾斜角为______；设点Q是曲线C上的一个动点，则点Q到直线l的距离的最小值为______．

正确答案

解析

解：由直线l的参数方程为（t为参数），得y=x+1，则直线l的斜率为k=，

设l的倾斜角为α，由0≤α＜π，且tanα=，所以；

由曲线C的参数方程为（θ为参数），则（x-2）2+y2=1．

所以曲线C为以（2，0）为圆心，以1为半径的圆，

则圆心C到直线l的距离为d=，

所以曲线C上的一个动点Q到直线l的距离的最小值为．

故答案为，．

1

题型：填空题

|

填空题

（坐标系与参数方程选做题）

曲线（t为参数且t＞0）与直线ρsinθ=1（ρ∈R，0≤θ＜π）交点M的极坐标为______．

正确答案

（2，）

解析

解：由曲线（t为参数且t＞0）消去参数t得到（x＞0），

由直线ρsinθ=1（ρ∈R，0≤θ＜π）得到y=1，联立，x＞0，解得M．

∴|OM|==2，

设∠MOx=α，则α为锐角，，解得

∴M（2，）．

故答案为．

1

题型：填空题

|

填空题

（请在下列两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

（1）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，P，Q是曲线C：ρ=4sinθ上任意两点，则线段PQ长度的最大值为______．

（2）如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=2，AB=BC=3，则AC的长为______．

正确答案

4

解析

解：（1）曲线C：ρ=4sinθ 即x2+（y-2）2=4，表示一个以（0，2）为圆心，以2为半径的圆．

线段PQ长度的最大值即圆x2+（y-2）2=4的直径，

故答案为 4．

（2）由切割线定理得：DB•DA=DC2，即DB（DB+BA）=DC2，即 DB2+3DB-28=0，解得DB=4．

∵∠A=∠BCD，∴△DBC∽△DCA，∴=，

AC==，

故答案为．

1

题型：简答题

|

简答题

选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数，r＞0）．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r的值．

正确答案

解：圆的直角坐标方程为（x+）2+（y+）2=r2，

圆心的直角坐标（-，-）

直线l的极坐标方程为即为x+y-=0，

圆心O（-，-）到直线的距离d==2．

圆O上的点到直线的最大距离为 2+r=3，

解得r=1．

解析

解：圆的直角坐标方程为（x+）2+（y+）2=r2，

圆心的直角坐标（-，-）

直线l的极坐标方程为即为x+y-=0，

圆心O（-，-）到直线的距离d==2．

圆O上的点到直线的最大距离为 2+r=3，

解得r=1．

1

题型：填空题

|

填空题

直线（t为参数）被曲线所截得的弦长为______．

正确答案

解析

解：把直线（t为参数）消去参数t，化为普通方程为 3x+4y+1=0．

曲线即 ρ2=ρ（cosθ-sinθ）=ρcosθ-ρsinθ，化为直角坐标方程为 x2+y2-x+y=0，即 +=，

表示以（，-）为圆心，半径等于的圆．

圆心到直线的距离为 =，故弦长为2=．

1

题型：简答题

|

简答题

已知曲线C1：ρcos（θ+）=；曲线C2：ρ2=．

（1）试判断曲线C1与C2的交点个数；

（2）若过点M（1，0）直线l与曲线C2交于两个不同的点A，B，求的取值范围．

正确答案

（1）由ρcos（θ+）=，得ρ（cosθ-sinθ）=，

所以x-y=1，

由ρ2=，得ρ2（3-2cos2θ）=3，

所以3（x2+y2）-2x2=3，即x2+3y2=3，

由得2x2-3x=0，解得x=0或x=，

所以曲线C1与C2的交点有两个；

（2）①当直线l存在斜率时，设l的方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），

由得（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0，

△=36k4-4（1+3k2）（3k2-3）＞0，即2k2+1＞0恒成立，

则x1+x2=，x1x2=，

|MA|=|x1-1|，|MB|=|x2-1|，|AB|=|x1-x2|，

==

==•=•，

又k2≥0，所以＜≤•=；

②当直线l不存在斜率时，把x=1代入x2+3y2=3得y=±，

此时==，

综合①②得的取值范围为[，]．

1

题型：填空题

|

填空题

在极坐标系中，曲线ρ=2sinθ所围成的平面图形的面积为______．

正确答案

将原极坐标方程为p=2sinθ，化成：

p2=2ρsinθ，其直角坐标方程为：

∴x2+y2=2y，是一个半径为1的圆，其面积为π．

故答案为：π．

1

题型：简答题

|

简答题

已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ-）=2．

（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；

（Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且•=10（其中O为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由．

正确答案

（Ⅰ）∵t≠0，∴可将曲线C的方程化为普通方程：+y2=4．…（2分）

①t=±1时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆； …（4分）

②当t≠±1时，曲线C为中心在原点的椭圆．…（6分）

（Ⅱ）直线l的普通方程为：x-y+4=0．…（8分）

联立直线与曲线的方程，消y得+（x+4）2=4，化简得（1+t2）x2+8t2x+12t2=0．

若直线l与曲线C有两个不同的公共点，则△=64t4-4（1+t2）•12t2＞0，解得t2＞3

又x1+x2=-，x1x2=，…（ …（10分）

故 •=x1x2+y1y2=x1x2+（x1+4）（x2+4）=2x1x2+4（x1+x2）+16=10．

解得t2=3与t2＞3相矛盾．故不存在满足题意的实数t．…（12分）

热门试卷

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

正确答案

正确答案