坐标系_章节学习

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题型：简答题

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简答题

选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，曲线L：ρsin2θ=2cosθ，过点A（5，α）（α为锐角且tanα=）作平行于θ=(ρ∈R)的直线l，且l与曲线L分别交于B，C两点．

（I）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L和直线l的普通方程；

（II）求|BC|的长．

正确答案

（Ⅰ）由题意得，点A的直角坐标为（4，3），

曲线L即 ρ2 sin2θ=2ρcosθ，它的普通方程为：y2=2x，

由于直线l的斜率为1，且过点A（4，3），故直线l的普通方程为：y-3=x-4，即y=x-1．

（Ⅱ）设B（x1，y1）、C（x2，y2），由可得 x2-4x+1=0，

由韦达定理得x1+x2=4，x1•x2=1，

由弦长公式得|BC|=|x1-x2|=2．

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题型：简答题

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简答题

把直角坐标方程（x-3）2+y2=9化为极坐标方程．

正确答案

原方程可展开为x2-6x+9+y2=9，

x2-6x+y2=0→ρ2-6•ρcosθ=0

∴ρ=0或ρ=6cosθ

即ρ=6cosθ．

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题型：简答题

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简答题

已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，设直线l的参数方程是（t为参数）．

（1）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（2）设直线l与x轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值．

正确答案

（1）曲C的极坐标方程可化为：ρ2=2ρsinθ，

又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ．

所以，曲C的直角坐标方程为：x2+y2-2y=0．

（2）将直线L的参数方程化为直角坐标方程得：y=-(x-2)．

令y=0得x=2即M点的坐标为（2，0）

又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为（0，1）

半径r=1，则|MC|=，∴|MN|≤|MC|+r=+1．

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题型：简答题

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简答题

已知圆锥曲线C的极坐标方程为ρ=，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程，并求焦点到准线的距离．

正确答案

由ρ=得，ρcos2θ=4sinθ，ρ2cos2θ=4ρsinθ，

又ρcosθ=x，ρsinθ=y，

所以所求曲线的直角坐标方程是：x2=4y，

所以，焦点到准线的距离为：2．

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题型：简答题

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简答题

极坐标方程4ρsin2=5化为直角坐标方程是 ______．

正确答案

sin2=

∴4ρsin2=5化成2ρ（1-cosθ）=5

即2ρ-2ρcosθ=5则2-2x=5

化简得y2=5x+

极坐标方程4ρsin2=5化为直角坐标方程是y2=5x+

故答案为y2=5x+

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题型：填空题

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填空题

（坐标系与参数方程选做题）

已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点（1，1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为______．

正确答案

由（t为参数），两式平方后相加得x2+y2=2，…（4分）

∴曲线C是以（0，0）为圆心，半径等于的圆．

C在点（1，1）处的切线l的方程为x+y=2，

令x=ρcosθ，y=ρsinθ，

代入x+y=2，并整理得ρcosθ+ρsinθ-2=0，即ρsin(θ+)=或ρcos(θ-)=，

则l的极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ-2=0（填ρsin(θ+)=或ρcos(θ-)=也得满分）． …（10分）

故答案为：ρcosθ+ρsinθ-2=0（填ρsin(θ+)=或ρcos(θ-)=也得满分）．

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题型：简答题

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简答题

B．选修4-2：矩阵与变换

设a＞0，b＞0，若矩阵A=把圆C：x2+y2=1变换为椭圆E：+=1．

（1）求a，b的值；

（2）求矩阵A的逆矩阵A-1．

C．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C：ρ=4cosθ被直线l：ρsin（θ-）=a截得的弦长为2，求实数a的值．

正确答案

B．选修4-2：矩阵与变换

（1）设圆上点（m，n）在矩阵A下，变换为（x，y），则=

∴m=，n=

∵点（m，n）是圆上点，∴m2+n2=1，∴()2+()2=1

∵矩阵A=把圆C：x2+y2=1变换为椭圆E：+=1．

∴a=2，b=；

（2）A=，|A|=2，∴A-1==；

C．选修4-4：坐标系与参数方程

圆C：ρ=4cosθ的直角坐标方程为：x2+y2=4x，即（x-2）2+y2=4；

直线l：ρsin（θ-）=a的直角坐标方程为：x-y-a=0

∴圆心到直线的距离为

∵圆C：ρ=4cosθ被直线l：ρsin（θ-）=a截得的弦长为2，

∴3+（）2=4

∴a=2±2．

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题型：简答题

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简答题

（1）在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．

（2）对5副不同的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只．对于下列事件：①A：甲正好取得两只配对手套；②B：乙正好取得两只配对手套．试判断事件A与B是否独立？并证明你的结论．

正确答案

（1）p2=2pcosθ，圆ρ=2cosθ的普通方程为：x2+y2=2x，（x-1）2+y2=1，

直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：3x+4y+a=0，

又圆与直线相切，所以=1，解得：a=2，或a=-8．

（2）设“甲正好取得两只配对手套”为事件A

∵从10只手套中任取4只有C104种不同的取法，

甲先任取一只要从5对中取一对且一对中又有两种不同的取法，

余下的乙从8只手套中取两只，有C82中取法，

根据古典概型公式得到

P（A）==．

P（B）==．

∵从10只手套中任取4只有C104种不同的取法，

甲乙两个人都取得成对的手套有C52×2×C21×2种不同取法，

∴P（AB）==，

又P（A）=，P（B）=，

∴P（A）P（B）=，

∴P（A）P（B）≠P（AB），故A与B是不独立的．

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题型：简答题

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简答题

（Ⅰ）把点M(-，-)的直角坐标化为极坐标；

（Ⅱ）求圆心在极轴上，且过极点和点D(2，)的圆的极坐标方程．

正确答案

（Ⅰ）因为M(-，-)，所以ρ===2，

因为tanθ==，因为点M位于第三象限，所以θ=，

所以点M的极坐标为(2，π)．

（Ⅱ）∵D(2，)，∴点D对应的直角坐标为（3，），

因为圆心在极轴上，且过极点，所以设圆心坐标为（r，0），

则圆的标准方程为（x-r）2+y2=r2，因为点（3，）在圆上，

所以代入得(3-r)2+(

3

)2=r2，解得r=2，

所以圆的标准方程为（x-2）2+y2=4，

即x2+y2-4x=0，所以ρ2-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ，

所求圆的极坐标方程为ρ=4cosθ．

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题型：填空题

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填空题

（坐标系与参数方程选做题）已知在极坐标系下，点A(1，)，B(3，)，O是极点，则△AOB的面积等于______．

正确答案

在极坐标系下，点A(1，)，B(3，)，O是极点，则OA=1，OB=3，∠AOB=-=，

∴△AOB的面积等于 OA•OB sin∠AOB=，

故答案为．

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题型：填空题

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填空题

已知在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（α为参数），与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρsin(θ-)=1，则圆C截直线l所得的弦长为______．

正确答案

由，得

①2+②2得x2+（y-1）2=4．

所以圆是以C（0，1）为圆心，以2为半径的圆．

又由2ρsin(θ-)=1，得2ρ(sinθcos-cosθsin)=1．

即ρsinθ-ρcosθ=1．

所以直线l的直角坐标方程为x-y+1=0．

所以圆心C到直线l的距离为d==0．

则直线l经过圆C的圆心，圆C截直线l所得的弦长为4．

故答案为4．

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题型：填空题

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填空题

在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ（cosθ+sinθ）=1与ρ（sinθ-cosθ）=1的交点的极坐标为______．

正确答案

∵p（cosθ+sinθ）=1，

∴x+y=1，①

∵p（sinθ-cosθ）=1，

∴y-x=1，②

解①②组成的方程组得交点的直角坐标

（0，1）

∴交点的极坐标为(1，)．

故填：(1，)．

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题型：简答题

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简答题

圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ．

（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求经过圆O1，圆O2交点的直线的直角坐标方程．

正确答案

以有点为原点，极轴为x轴正半轴，

建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．

（1）x=ρcosθ，y=ρsinθ，由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ．

所以x2+y2=4x．

即x2+y2-4x=0为圆O1的直角坐标方程．…．（3分）

同理x2+y2+4y=0为圆O2的直角坐标方程．…．（6分）

（2）由解得．

即圆O1，圆O2交于点（0，0）和（2，-2）．

过交点的直线的直角坐标方程为y=-x．…（10分）

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题型：简答题

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简答题

已知极坐标系下曲线C的方程为ρ=2cosθ+4sinθ，直线l经过点P(，)，倾斜角α=．

（Ⅰ）求直线l在相应直角坐标系下的参数方程；

（Ⅱ）设l与曲线C相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．

正确答案

（Ⅰ）∵直线l经过点P(，)，∴x=cos=1，y=sin=1，∴点P（1，1）．

∵直线l的倾斜角α=，∴斜率k=tan=．

∴直线l的参数方程为(t为参数)．

（Ⅱ）∵曲线C的方程为ρ=2cosθ+4sinθ，∴ρ2=2ρcosθ+4ρsinθ，

∴x2+y2=2x+4y，

∴圆C：（x-1）2+（y-2）2=5，

把直线l的参数方程(t为参数)代入圆的方程得

t2-t-4=0，

∴t1t2=-4．

∴|t1t2|=4即为点P到A、B两点的距离之积．

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题型：填空题

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填空题

圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程为______，圆心的直角坐标为______．

正确答案

将方程p=2cosθ两边都乘以p得：p2=2pcosθ，

化成直角坐标方程为x2+y2-2x=0．半径为1，圆心的直角坐标为（1，0）．

故答案为：x2+y2-2x=0 （1，0）．

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