热门试卷

由题意（-1，-8）为二次函数的顶点，

∴f（x）=2（x+1）2-8=2（x2+2x-3）．

A={x|x＜-3或x＞1}．

（Ⅰ）B={x||x-1|≤1}={x|0≤x≤2}．

∴（CRA）∪B={x|-3≤x≤1}∪{x|0≤x≤2}={x|-3≤x≤2}．

∴（CRA）∪B={x|-3≤x≤2}．

（Ⅱ）∵B={x|t-1≤x≤t+1}．且由题意知：命题P：A∩B≠空集为假命题，

所以必有：⇒，

∴实数t的取值范围是[-2，0]．

（1）命题：“∀x∈{x|-1≤x≤1}，都有不等式x2-x-m＜0成立”是真命题，

得x2-x-m＜0在-1≤x≤1恒成立，

∴m＞（x2-x）max

得m＞2

即B=（2，+∞）

（2）不等式（x-3a）（x-a-2）＜0

①当3a＞2+a，即a＞1时

解集A=（2+a，3a），

若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A⊆B，

∴2+a≥2此时a∈（1，+∞）．

②当3a=2+a即a=1时

解集A=φ，

若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A⊂B成立．

③当3a＜2+a，即a＜1时

解集A=（3a，2+a），若

x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A⊂B成立，

∴3a≥2此时a∈[，1)．

综上①②③：a∈[，+∞)．

（I）∵P=[1，3]，M=（-∞，-2）

∴f（P）=[1，3]，f（M）=[2，+∞）

∴f（P）∪f（M）=[1，+∞）（3分）

（II）因为函数f（x）是R上的增函数，且f（0）=0

所以当x＜0时，f（x）＜0，所以（-∞，0）⊆P

同理可知，（0，+∞）⊆P

因为P∩M=∅

所以P={x|x≠0}．M={0}（6分）

（III）原命题为真命题，理由如下：（8分）

假设存在P，M且P∪M≠R，则有f（P）∪f（M）=R

因为P∪M≠R

若0∉P∪M

则0∉f（P）∪f（M）

∴f（P）∪f（M）≠R与f（P）∪f（M）=R矛盾

若存在x0∉P∪M且则x0∉P∪M且x0≠0，则x0∉f（P），-x0∉f（M）

因为f（p）∪f（M）=R

所以-x0∈f（P），x0∈f（M）

所以-x0∈P，-x0∈M

由函数的定义可得，-x0=x0即x0=0与x0≠0矛盾

所以命题“若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R为真命题（14分）

设=(x，y)，则t=(tx．ty)．

①若∈{（x，y）|x2≥y}；若t∈{（x，y）|x2≥y}，即（tx）2≥ty，

 因为t＞0，整理得tx2≥y．显然当t≠1时，tx2≥y与x2≥y不是同解不等式，所以①不是“点射域”．

②若∈{（x，y）|}，则有，若t∈{（x，y）|}，则有，

因为t＞0，所以不等式等价为，由题意可知②是“点射域”．

③若∈{（x，y）|x2+y2-2x≥0}，则x2+y2-2x≥0，若t∈{（x，y）|x2+y2-2x≥0}，则有（tx）2+（ty）2-2tx≥0，

因为t＞0，所以不等式等价tx2+ty2-2x≥0，显然当t≠1时，两不等式不是同解不等式，所以③不是“点射域”．

④若∈{（x，y）|3x2+2y2-6＜0}，则有3x2+2y2-6＜0．若t∈{（x，y）|3x2+2y2-6＜0}，

则3（tx）2+2（ty）2-6＜0，显然当t≠1时，两不等式不是同解不等式，所以④不是“点射域”．

故答案为：②．

p：等价于，解得m≤-2…（3分）

q：等价于m=0或，解得0≤m＜4…（6分）

∵“p∨q”为真命题，且“p∧¬q”是假命题，∴p真q真或p假q真

若p真q真，m≤-2且0≤m＜4，无解．…（9分）

若p假q真，m＞-2且0≤m＜4，解得0≤m＜4．

故实数m的取值范围是[0，4）．…（12分）

命题p：|f（x）|＜2，||＜2⇒-5＜a＜7（2分）

命题q：设x2+（a+2）x+1=0判别式为△

当△＜0时，A=∅，此时△=（a+2）2-4＜0，-4＜a＜0

当△≥0时，由A∩B=∅得⇒a≥0

∴a＞-4    （6分）

（1）若p真q假⇒-5＜a≤-4

（2）若p假q真⇒a≥7

∴实数a的取值范围为（-5，-4]∪[7，+∞）（12分）

解：（1）设满足题设的等比数列为{an}，则，

于是，

因此，

因为|q|＜1，

所以，，

即，

故首项为1，公比为q（|q|＜1）的等比数列是B-数列。

（2）命题1：若数列{xn}是B-数列，则数列{Sn}是B-数列，此命题为假命题。

事实上，设，

易知数列{xn}是B-数列，但，

，

由n的任意性知，数列{Sn}是B-数列此命题为假命题。

命题2：若数列{Sn}是B-数列，则数列{xn}是B-数列，此命题为真命题，

事实上，因为数列{Sn}是B-数列，

所以存在正数M，对任意的n∈N*，

有，

即，

于是

，

所以数列{xn}是B-数列。

（3）若数列{an}{bn}是B-数列，则存在正数，对任意的n∈N*，

有，

，

注意到

，

同理：，

记，则有

，

因此

，

故数列{anbn}是B-数列。

（1）由题意，△≥0∴a≤

（2）由题意ax2+ax+1＞0恒成立

①a=0，成立；

②a≠0，，得到0＜a＜4

综上，0≤a＜4

（3）由题意，命题P，Q一真一假

①P真Q假：，得到a＜0

②P假Q真：，得到＜a＜4

综上，a∈(-∞，0)∪(，4)

由已知p、q中有且仅有一为真，一为假

若p真即m＞2

若q真△＜0即1＜m＜3

若p假q真，则即1＜m≤2

若p真q假，则即m≥3

综上所述：m∈（1，2]∪[3，+∞）

∵函数y=x2+2（a2-a）x+a4-2a3=[x+（a2-a）]2-a2，在[-2，+∞）上单调递增，

∴对称轴-（a2-a）≤-2，

即a2-a-2≥0，解得a≤-1或a≥2．

即p：a≤-1或a≥2．

由不等式ax2-ax+1＞0的解集为R得，

即

解得0≤a＜4

∴q：0≤a＜4．

∵p∧q假，p∨q真．

∴p与q一真一假．

∴p真q假或p假q真，

即或

∴a≤-1或a≥4或0≤a＜2．

所以实数a的取值范围是（-∞，-1]∪[0，2）∪[4，+∞）．

根据椭圆的标准方程，p真：m＞2；

q真：则f′（x）=4x2-4mx+（4m-3）≥0恒成立

△=16m2-16（4m-3）≤0，

化简m2-4m+3≤0

解得：1≤m≤3

若p∧q为真，则m的取值范围是（2，+∞）∩[1，3]=（2，3]

即∴2＜m≤3