- 随机变量及其分布
- 共3822题
设ξ～N（0，1），且P（ξ＜1.623）=p，那么P（-1.623≤ξ≤0）的值是（ ）
正确答案
如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3．图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的像就是n，记作f（m）=n．则在下列说法中正确命题的个数为（ ）
①f（
正确答案
根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
（I）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（II）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
正确答案
记A：该地的一位车主购买甲中保险，
B表示：该地的一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险，
C表示：该地的一位车主至少购买甲、乙两个保险中的一种，
D表示：该地的一位车主甲、乙两种保险都不购买，
E表示：该地的3位车主中恰有1位车主甲和乙两种保险都不购买，
（I）设该车主购买乙种保险的概率为P，
根据题意可得P（1-0.5）=0.3，解可得P=0.6，
该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1-0.5）（1-0.6）=0.2，
由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1-0.2=0.8
（II）该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买
P（D）=1-P（C）=1-0.8=0.2，
P（E）=C31×0.2×0.82=0.384
甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为______．
正确答案
敌机没有被击中的概率为 （1-0.6）（1-0.5）=0.3，
故敌机被击中的概率为 1-0.3=0.7，
故答案为 0.7．
设有3个投球手，其中一人命中率为q，剩下的两人水平相当且命中率均为p（p，q∈（0，1）），每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为ξ．
（1）当p=q=
（2）当p+q=1时，将ξ的数学期望E（ξ）用p表示．
正确答案
（1）∵每位投球手均独立投球一次，
当p=q=
∴ξ～B（3，
∴Eξ=np=3×
（2）ξ的可取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=（1-q）（1-p）2=pq2；
P（ξ=1）=q（1-p）2+（1-q）C21p（1-p）=q3+2p2q；
P（ξ=2）=qC21p（1-p）+（1-q）p2=2pq2+p3；
P（ξ=3）=qp2．
ξ的分布列为
Eξ=0×pq2+1×（q3+2p2q）+2×（2pq2+p3）+3×qp2=1+p．
甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试，已知甲能通过测试的概率是
（Ⅰ）求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少；
（Ⅱ）求测试结束后通过的人数ξ的数学期望Eξ．
正确答案
解：（Ⅰ）设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是x、y依题意得：
即
所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是
（Ⅱ）因为随机变量ξ表示测试结束后通过的人数，由题意可知ξ的所有可能值为：0，1，2，3，
并且P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=3）=
P（ξ=2）=1﹣（
所以Eξ=
某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛：答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每个问题的概率相同，并且相互之间没有影响，答题连续两次答错的概率为
（1）求选手甲可进入决赛的概率；
（2）设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试求ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
正确答案
解：（1）设选手甲任答一题，正确的概率为p，依题意
甲选答3道题目后进入决赛的概率为
甲选答4道、5道题目后进入决赛的概率分别为
所以，选手甲可进入决赛的概率
（2）ξ可取3，4，5，
依题意，
所以，ξ的分布列为：
∴
某超市为促销商品，特举办“购物有奖100%中奖”活动，凡消费者在该超市购物满100元，享受一次摇奖机会，购物满200元，享受两次摇奖机会，以此类推.摇奖机的结构如图所示，将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落。小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，落入A袋为一等奖，奖金为20元，落入B袋为二等奖，奖金为10元，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是
（Ⅰ）求：摇奖两次，均获得一等奖的概率；
（Ⅱ）某消费者购物满200元，摇奖后所得奖金为X元，试求X的分布列与期望；
（Ⅲ）若超市同时举行购物八八折让利于消费者活动（打折后不再享受摇奖），某消费者刚好消费200元，请问他是选择摇奖还是选择打折比较划算。
正确答案
解：记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，
则小球落入A袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，
故
（Ⅰ）获得两次一等奖的概率为
（Ⅱ）X可以取20，30，40，
P(X=20)=
P(X=40)=
所以，分布列为：
所以，EX=20×
（Ⅲ）参加摇奖，可节省25元，打折优惠，可节省24元，参加摇奖。
已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现在从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（I）求取出的4个球均为黑色球的概率；
（II）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（III）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（I）设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件A，
“从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件B．
∵事件A，B相互独立，且
∴取出的4个球均为黑球的概率为
P（AB）=P（A）
（II）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球”为事件C，
“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．
∵事件C，D互斥，且
∴取出的4个球中恰有1个红球的概率为
P（C+D）=P（C）+P（D）=
（III）解：ξ可能的取值为0，1，2，3．
由（I），（II）得
又
从而P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=
ξ的分布列为
ξ的数学期望
一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为P1和P2．则（ ）
正确答案
某果园要将一批水果用汽车从所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由果园承担．若果园恰能在约定日期（×月×日）将水果送到，则销售商一次性支付给果园20万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给果园1万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给果园1万元．为保证水果新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送水果，已知下表内的信息：
（注：毛利润=销售商支付给果园的费用-运费）
（Ⅰ）记汽车走公路1时果园获得的毛利润为ξ（单位：万元），求ξ的分布列和数学期望Eξ；
（Ⅱ）假设你是果园的决策者，你选择哪条公路运送水果有可能让果园获得的毛利润更多？
正确答案
（1）汽车走公路1时，不堵车时果园获得的毛利润ξ=20-1.6=18.4万元；
堵车时果园获得的毛利润ξ=20-1.6-1=17.4万元；
∴汽车走公路1时果园获得的毛利润ξ的分布列为
∴Eξ=18.4×
（2）设汽车走公路2时果园获得的毛利润为η，
不堵车时果园获得的毛利润η=20-0.8+1=20.2万元；
堵车时果园获得的毛利润η=20-0.8-2=17.2万元；
∴汽车走公路1时果园获得的毛利润η的分布列为
∴Eη=20.2×
∵Eξ＜Eη
∴选择公路2运送水果有可能让果园获得的毛利润更多
已知随机变量η只取a，1这两个值，且P（η=a）=a，则当E（η）取最小值时D（η）等于______．
正确答案
∵随机变量η只取a，1这两个值，且P（η=a）=a，0＜a＜1
∴P（η=1）=1-a，
∴E（η）=a2+1-a=(a-
1
2
)2+
∴当a=
∴D（η）=
3
4
)2+
1
2
-
3
4
)2=
故答案为：
某批n件产品的次品率为1%，现在从中任意地依次抽出2件进行检验，问：
（1）当n=100，1000，10000时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到一件次品的概率各是多少？（精确到0.00001）
（2）根据（1），谈谈你对超几何分布与二项分布关系的认识．
正确答案
（1）当n=100时，
如果放回，这是二项分布．抽到的2件产品中有1件次品1件正品，其概率为
C21•0.01•0.99=0.0198．
如果不放回，这是超几何分布．100件产品中次品数为1，正品数是99，
从100件产品里抽2件，总的可能是C1002，次品的可能是C11C991．
所以概率为
当n=1000时，
如果放回，这是二项分布．抽到的2件产品中有1件次品1件正品，其概率为
C21•0.01•0.99=0.0198．
如果不放回，这是超几何分布．1000件产品中次品数为10，正品数是990，
从1000件产品里抽2件，总的可能是C10002，次品的可能是C101C9901．
所以概率为是
如果放回，这是二项分布．抽到的2件产品中有1件次品1件正品，其概率为
C21•0.01•0.99=0.0198．
如果不放回，这是超几何分布．10000件产品中次品数为1000，正品数是9000，
从10000件产品里抽2件，总的可能是C100002，次品的可能是C1001C99001．
所以概率为
（2）对超几何分布与二项分布关系的认识：
共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败．
不同点：1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；
2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”；
联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布．
已知随机变量ξ～B（n，p），若Eξ=3，Dξ=
正确答案
∵随机变量ξ～B（n，p），且E（ξ）=3，D（ξ）=
∴np=3，且np（1-p）=
解得 n=6，p=
故答案为：6，
若X～B(5， 
正确答案
∵X服从二项分布X～B(5， 
由DX=np（1-p）=5×
故答案为：
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