- 随机变量及其分布
- 共3822题
随机变量ξ服从二项分布ξ～B（100，0.2），那么D（4ξ+3）的值为（ ）
正确答案
解析
解：∵随机变量ξ服从二项分布，且ξ～B（100，0.2），
∴D（ξ）=100×0.2×（1-0.2）=16，
∴D（4ξ+3）=16×16=256．
故选：B．
若随机变量X服从两点分布，且成功的概率为0.7，则D（X）=______．
正确答案
0.21
解析
解：∵X服从两点分布，且成功的概率为0.7，
∴D（X）=0.72×0.3+（1-0.7）2×0.7=0.21．
故答案为：0.21．
某工人在一天内加工零件产生的次品数用ξ表示，椐统计，随机变量ξ的概率分布如下：
（1）求a的值和ξ的数学期望；
（2）假设两天内产生的次品数互不影响，求该工人两天内产生的次品数共2个的概率．
正确答案
解：（1）由概率分布的性质有0.1+0.1+3a+a=1，解答a=0.2，
∴ξ的概率分布为
∴Eξ=0×0.1+1×0.1+2×0.6+3×0.2=1.9
（2）设事件A表示“该工人两天内产生的次品数共2个”事件A1表示“两天内有一天产生2个，另外一天产生0个”；事件A2表示“两天内每天产生1个”
则由事件的独立性得P（A1）=2×0.6×0.1=0.12，P（A2）=0.1×0.1=0.01，
∴P（A）=0.12+0.01=0.13．
故该工人两天内产生的次品数共2个的概率为0.13．
解析
解：（1）由概率分布的性质有0.1+0.1+3a+a=1，解答a=0.2，
∴ξ的概率分布为
∴Eξ=0×0.1+1×0.1+2×0.6+3×0.2=1.9
（2）设事件A表示“该工人两天内产生的次品数共2个”事件A1表示“两天内有一天产生2个，另外一天产生0个”；事件A2表示“两天内每天产生1个”
则由事件的独立性得P（A1）=2×0.6×0.1=0.12，P（A2）=0.1×0.1=0.01，
∴P（A）=0.12+0.01=0.13．
故该工人两天内产生的次品数共2个的概率为0.13．
（1）已知顾客甲消费后获得n次转动转盘的机会，已知他每转一次转盘指针落在区域边界的概率为p，每次转动转盘的结果相互独立，设ξ为顾客甲转动转盘指针落在区域边界的次数，ξ的数学期望Eξ=
（2）顾客乙消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为η（元）．求随机变量η的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）依题意知，ξ服从二项分布ξ～B（n，p）
∴Eξ=np=
又Dξ=（σξ）2=np（1-p）=
由①②联立解得：n=4，p=
（2）设指针落在A，B，C区域分别记为事件A，B，C．则P（A）=
由题意得，该顾客可转动转盘2次．
随机变量η的可能值为0，30，60，90，120．
P（η=0）=
P（η=30）=
P（η=90）=
P（η=60）=
P（η=120）=
所以，随机变量η的分布列为：
故其数学期望Eη=0×+30×+60×+90×+120×=40．
解析
解：（1）依题意知，ξ服从二项分布ξ～B（n，p）
∴Eξ=np=
又Dξ=（σξ）2=np（1-p）=
由①②联立解得：n=4，p=
（2）设指针落在A，B，C区域分别记为事件A，B，C．则P（A）=
由题意得，该顾客可转动转盘2次．
随机变量η的可能值为0，30，60，90，120．
P（η=0）=
P（η=30）=
P（η=90）=
P（η=60）=
P（η=120）=
所以，随机变量η的分布列为：
故其数学期望Eη=0×+30×+60×+90×+120×=40．
随机变量Y～B（n，p），且E（Y）=3.6，D（Y）=2.16，则此二项分布是（ ）
正确答案
解析
解：∵随机变量Y～B（n，p），且E（Y）=3.6，D（Y）=2.16，
∴
∴此二项分布是B（9，0.4）
故选B
随机变量ξ服从二项分布ξ～B（16，P），且Dξ=3，则Eξ等于（ ）
正确答案
解析
解：∵随机变量ξ服从二项分布ξ～B（16，P），且Dξ=3，
∴Dξ=16P（1-P）=3，
∴P=
∴Eξ=nP=4或12．
故选C．
设随机变量X～B（2，p），Y～B（3，P），若P（X≥1）=
正确答案
解析
解：∵随机变量X～B（2，P），
∴P（X≥1）=1-P（X=0）
=1-
∴P（Y=1）=
故答案为：
设X～B（4，P），且P（X=2）=
正确答案
解析
解：
即
故答案为：
设有3个投球手，其中一人命中率为q，剩下的两人水平相当且命中率均为p（p，q∈（0，1）），每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为ξ．
（1）当p=q=
（2）当p+q=1时，将ξ的数学期望E（ξ）用p表示．
正确答案
解：（1）∵每位投球手均独立投球一次，
当p=q=
∴ξ～B（3，
∴Eξ=np=3×
（2）ξ的可取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=（1-q）（1-p）2=pq2；
P（ξ=1）=q（1-p）2+（1-q）C21p（1-p）=q3+2p2q；
P（ξ=2）=qC21p（1-p）+（1-q）p2=2pq2+p3；
P（ξ=3）=qp2．
ξ的分布列为
Eξ=0×pq2+1×（q3+2p2q）+2×（2pq2+p3）+3×qp2=1+p．
解析
解：（1）∵每位投球手均独立投球一次，
当p=q=
∴ξ～B（3，
∴Eξ=np=3×
（2）ξ的可取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=（1-q）（1-p）2=pq2；
P（ξ=1）=q（1-p）2+（1-q）C21p（1-p）=q3+2p2q；
P（ξ=2）=qC21p（1-p）+（1-q）p2=2pq2+p3；
P（ξ=3）=qp2．
ξ的分布列为
Eξ=0×pq2+1×（q3+2p2q）+2×（2pq2+p3）+3×qp2=1+p．
某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛中获胜的事件是独立的，并且获胜的概率均为
（1）求这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率；
（2）求这支篮球队在6场比赛中恰好获胜3场的概率；
（3）求这支篮球队在6场比赛中获胜场数的期望．
正确答案
解：（1）这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率为P=
（2）6场比赛中恰好获胜3场的情况有C63，
故概率为C63×
（3）由于X服从二项分布，即X～B（6，
∴EX=6×
解析
解：（1）这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率为P=
（2）6场比赛中恰好获胜3场的情况有C63，
故概率为C63×
（3）由于X服从二项分布，即X～B（6，
∴EX=6×
设随机变量X服从二项分布B（n，p），且E（X）=1.6，D（X）=1.28，则n=______，p=______．
正确答案
8
0.2
解析
解：∵随机变量X服从二项分布B（n，p），且E（X）=1.6，D（X）=1.28，
∴EX=1.6=np，①
Dξ=1.28=np（1-p），②
①与②相除可得1-p=
∴p=0.2，n=
故答案为：8；0.2
姚明比赛时罚球命中率为90%，则他在3次罚球中罚失1次的概率是______．
正确答案
0.243
解析
解：设随机变量X表示“3次罚球，中的次数”，则X～B（3，0.9）．
则他在3次罚球中罚失1次的概率是P（X=2）=
故答案为：0.243．
若随机变量X～B（10，
正确答案
解析
解：由公式可得DX=np（1-p）=10×
故答案为：
设ξ～B（18，p），又E（ξ）=9，则p的值为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵ξ～B（18，p），E（ξ）=9，
∴18p=9，
∴p=
故选：A．
已知随机变量ξ～（100，
正确答案
解析
解：∵随机变量ξ～（100，
∴k=0，1，2，3，…100．
∴P（ξ=k）=
∴当P（ξ=k）取得最大值时，即
∵
∴
∵k∈N，
∴K=50，
故选；B
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