- 随机变量及其分布
- 共3822题
某校篮球选修课的考核方式采用远距离投离篮进行，规定若学生连中两球，则通过考核，终止投篮；否则继续投篮，直至投满四次终止．现有某位同学每次投篮的命中率为
（I）该同学投中二球但未能通过考核的概率；
（II）现知该校选修篮球的同学共有27位，每位同学每次投篮的命中率为
正确答案
（1）该同学投中两球但未通过考核，即投蓝四次，投中二次，且这两次不连续，
其概率为
1
3
)2(
2
3
)2=
（2）在这次考核中，每位同学通过考核的概率为
P=(
2
3
)2+(
2
3
)2•
2
3
)2•(
1
3
)2+(
2
3
)3•
随机变量X服从B（27，
EX=np=27×
甲、乙两支足球队，苦战120分钟，比分为1 ：1，现决定各派5名队员，每人射一个点球决定胜负，假设两支球队派出的队员点球命中率均为
⑴两队球员一个间隔一个出场射球，有多少种不同的出场顺序？
⑵甲、乙两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率是多少？
正确答案
⑴两队球员一个间隔一个出场射球，出场顺序是28800。
⑵甲、乙两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率是
（1）此题为5个两类不同的元素的相间排列，其方法为：
（2）
一名学生练习投篮，每次投篮他投进的概率是
（1）求他在投篮过程中至少投进1次的概率；
（2）求他在投篮过程中进球数ξ的期望与方差．
正确答案
（1）由于此学生共投篮5次，每一次投篮之间相互不影响，且他一次投篮中投中的概率是
2
3
)5=
（2）由于随机变量ξ代表的是投篮过程中进球的个数，由题意可知ξ可以等于0，1，2，3，4，5
P（ξ=0）=(1-
2
3
)5=
P（ξ=1）=
2
3
)4=
P（ξ=2）=
2
3
)2 (
1
3
)3=
P（ξ=3）=
2
3
)3 (
1
3
)2=
P（ξ=4）=
2
3
)4(
1
3
)1 =
P（ξ=5）=
2
3
)5=
利用独立重复事件的期望与方差公式可知：Eξ=5×
一名学生练习投篮，每次投篮他投进的概率是
（1）求他在投篮过程中至少投进1次的概率；
（2）求他在投篮过程中进球数ξ的期望与方差．
正确答案
（1）由于此学生共投篮5次，每一次投篮之间相互不影响，且他一次投篮中投中的概率是
2
3
)5=
（2）由于随机变量ξ代表的是投篮过程中进球的个数，由题意可知ξ可以等于0，1，2，3，4，5
P（ξ=0）=(1-
2
3
)5=
P（ξ=1）=
2
3
)4=
P（ξ=2）=
2
3
)2 (
1
3
)3=
P（ξ=3）=
2
3
)3 (
1
3
)2=
P（ξ=4）=
2
3
)4(
1
3
)1 =
P（ξ=5）=
2
3
)5=
利用独立重复事件的期望与方差公式可知：Eξ=5×
某会议室用3盏灯照明，每盏灯各使用节能灯棍一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯棍的寿命有关，该型号的灯棍寿命为1年以上的概率为0.8，寿命为2年以上的概率为0.3，从使用之日起每满1年进行一次灯棍更换工作，只更换已坏的灯棍，平时不换．
（I）在第一次灯棍更换工作中，求不需要更换灯棍和更换2只灯棍的概率；
（Ⅱ）在第二次灯棍更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该灯需要更换灯棍的概率．
正确答案
（I）∵每盏灯能否正常照明只与灯棍的寿命有关，
寿命为1年以上的概率为0.8，寿命为2年以上的概率为0.3，
每只灯泡能否照明看做一次独立重复试验，
设在第一次更换灯棍工作中，不需要更换灯棍的概率为P1，需要列换2只灯棍的概率为p2则
∴P1=0.83=0.512
P2=C320.8（1-0.8）2=0.096
（II）假设该盏灯需要更换灯棍的概率为p，对该盏灯来说，设在第1，2次都更换了灯棍的概率为p3；
在第一次未更换灯棍而在第二次需要更换灯棍的概率为p4
则p=p3+p4=（1-0.8）2+0.8（1-0.3）=0.6
袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是
（1）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸4次．
①恰好有2次摸到红球的概率；②第一次、第三次摸到红球的概率．
（2）若A、B两个袋子中的球数之比为4，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是
正确答案
（1）由于每次摸出一个红球的概率是
①故4次摸球中恰好有2次摸到红球的概率为 
1
3
)2•(
2
3
)2=
②由于每次摸出一个红球的概率都是
（2）设B袋子有n个球，则由题意可得，A袋子有4n个球．
再根据从中摸出一个红球的概率是
即 
已知一枚质地不均匀的硬币，抛掷一次正面朝上的概率为
（Ⅰ）求抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率；
（Ⅱ）抛掷这样的硬币三次后，抛掷一枚质地均匀的硬币一次，记四次抛掷后总共有三次正面朝上的概率．
正确答案
因为由已知一枚质地不均匀的硬币，抛掷一次正面朝上的概率为
（Ⅰ）抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率为P1=
（Ⅱ）四次抛掷后总共有三次正面朝上的概率为P2=
今年夏季酷暑难熬，某品牌饮料抓住这一时机举行夏季促销活动，若瓶盖中印有“中奖2元”字样，则可以兑换2元现金，如果这种饮料每瓶成本为2元，投入市场按每瓶3元销售，“中奖2元”综合中奖率为10%．
（1）求甲够买饮料3瓶，至少有2瓶中奖的概率；
（2）若该厂生产这种饮料20万瓶，假设全部售出，则盈利的期望值是多少？
正确答案
（Ⅰ）设甲购买该饮料3瓶，至少有2瓶中奖的概率为P，则
P=
（Ⅱ）设售出一瓶这种饮料盈利为ξ，则ξ的可能取值是-1，1，
且P（ξ=-1）=0.1，P（ξ=1）=0.9，
故ξ的分布列为：
Eξ=-1×0.1+1×0.9=0.8．
故20万瓶的盈利期望值为：20Eξ=20×0.8=16（万元） …（13分）
设某一射手在射击时中靶的概率为0.4，假设每次射击相互独立，
（1）求5次射击中恰好中靶2次的概率；
（2）求5次射击中恰好第二、三次中靶的概率；
（3）要使靶子被击中的概率不低于0.95，至少要射击几次．（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）
正确答案
（1）5次射击中恰好中靶2次的概率为
C520.420.63=0.3456…（3分）
（2）5次射击中恰好第二、三次中靶的概率为
0.4×0.4=0.16…（6分）
（3）设要使靶子被击中的概率不低于0.95，至少要射击n次则
1-0.6n≥0.95…（9分）0.6n≤0.05，
∴n≥
∴n≥6
∴至少要射击6次，使靶子被击中的概率不低于0.95．…（12分）
设某一射手在射击时中靶的概率为0.4，假设每次射击相互独立，
（1）求5次射击中恰好中靶2次的概率；
（2）求5次射击中恰好第二、三次中靶的概率；
（3）要使靶子被击中的概率不低于0.95，至少要射击几次．（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）
正确答案
（1）5次射击中恰好中靶2次的概率为
C520.420.63=0.3456…（3分）
（2）5次射击中恰好第二、三次中靶的概率为
0.4×0.4=0.16…（6分）
（3）设要使靶子被击中的概率不低于0.95，至少要射击n次则
1-0.6n≥0.95…（9分）0.6n≤0.05，
∴n≥
∴n≥6
∴至少要射击6次，使靶子被击中的概率不低于0.95．…（12分）
9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．
（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；
（Ⅱ）求有坑需要补种的概率．（精确到0.001）
正确答案
（Ⅰ）由题意知每粒种子发芽的概率为0.5，且每粒种子是否发芽是相互独立的，
得到本题是一个独立重复试验，
∵甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1-0.5)3=
∴甲坑不需要补种的概率为1-
（Ⅱ）有坑需要补种包括3个坑中恰有1个坑需要补种；恰有2个坑需要补种；3个坑都需要补种，
这三种情况之间是互斥的，
∵3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为
恰有2个坑需要补种的概率为
3个坑都需要补种的概率为
∴有坑需要补种的概率为0.287+0.041+0.002=0.330．
甲、乙两队在进行一场五局三胜制的排球比赛中，规定先赢三局的队获胜，并且比赛就此结束，现已知甲、乙两队每比赛一局，甲队获胜的概率为
（1）甲队以3：2获胜的概率是多少？
（2）乙队获胜的概率是多少？
正确答案
（1）甲队以3：2获胜，说明前4场比赛甲队赢了2场，且甲队赢了第五场，
设甲队以3：2获胜的概率为P1，则P1=
3
5
)2•(
2
5
)2•
（2）乙队获胜的情况有2种：乙队连赢3局；或者乙队以3：2获胜．
设乙队获胜的概率P2，则P2=(
2
5
)3+
3
5
)2•(
2
5
)2•
从10个元件中（其中4个相同的甲品牌元件和6个相同的乙品牌元件）随机选出3个参加某种性能测试．每个甲品牌元件能通过测试的概率均为
（I）选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率；
（II）若选出的三个元件均为乙品牌元件，现对它们进行性能测试，求至少有两
个乙品牌元件同时通过测试的概率．
正确答案
（Ⅰ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件数C103，
而满足条件的事件是选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件，
它的对立事件是没有甲品牌的元件，
设事件A：选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件；
则P（
由对立事件的概率公式得到
∴P（A）=1-
即随机选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率为
（Ⅱ）设事件B：选出的三个均为乙品牌元件，至少有两个乙品牌元件通过测试，
至少有两个乙品牌元件同时通过测试包括两种情况，一是有两个通过测试，二是三个都通过测试，这两种情况是互斥的，
∴P（B）=
3
5
)2(1-
3
5
)3=
即至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率为
甲、乙两支篮球队进行比赛，已知每一场甲队获胜的概率为0.6，乙队获得的概率为0.4，每场比赛均要分出胜负，比赛时采用三场两胜制，即先取得两场胜利的球队胜出．
（Ⅰ）求甲队以二比一获胜的概率；
（Ⅱ）求乙队获胜的概率；
正确答案
（Ⅰ）根据题意，若甲队以二比一获胜，
即前两场中甲胜1场，第三场甲获胜，
其概率为P1=（C21×0.6×0.4）×0.6=0.288；
（Ⅱ）乙队以2：0获胜的概率为P′2=0.4×0.4=0.16；
乙队以2：1获胜的概率为P″2=C210.4×0.6×0.4=0.192
∴乙队获胜的概率为P2=0.42+C21×0.4×0.6×0.4=0.16+0.192=0.352．
一种信号灯，只有符号“√”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“√”和“×”两者之一，其中出现“√”的概率为
（1）求信号灯在4次变化中恰好2次出现“√”的概率．
（2）求S4=2的概率．
正确答案
（1）根据题意，信号灯在4次变化中恰好2次出现“√”，即4次独立重复试验中恰有2次发生，
则其概率P=
（2）S4=a1+a2+a3+a4=2，a1、a2、a3、a4的值为1或-1，
分析可得，a1、a2、a3、a4中，有3个为1，另1个为-1，
即前4次变化中“√”出现3次，“×”出现1次．
则其概率P=
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