热门试卷

（1）甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22．

（2）甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．

试题分析：记“甲射击一次，命中7环以下”为事件，“甲射击一次，命中7环”为事件，由于在一次射击中，与不可能同时发生，故与是互斥事件，

（1）“甲射击一次，命中不足8环”的事件为，

由互斥事件的概率加法公式，．

答：甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22．

（2）方法1：记“甲射击一次，命中8环”为事件，“甲射击一次，命中9环（含9环）以上”为事件，则“甲射击一次，至少命中7环”的事件为，

∴．

答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．

方法2：∵“甲射击一次，至少命中7环”为事件，

∴=1－0.1＝0.9．

答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．

点评：中档题，本题解法较多。（2）解法二利用了对立事件概率公式，较为简洁。

(Ⅰ)   (Ⅱ)   （Ⅲ）

（1）（2）

试题分析：（1）根据题意，甲第一局当裁判，则第二局一定是参加比赛，第四局当裁判，说明第三局继续参加比赛，所以，甲参加了第二、三两局的比赛，且第二局胜，第三局负.

（2）根据题意，在四局比赛中，乙参赛的情况与比赛结果可用下表表示五种情况：

由此明确的所有可能的值，以及对应每个取值的含义，求出的分布列，进而求出的值.

试题解析：（1）记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，

A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，

A表示事件“第4局甲当裁判”．

则A＝A1·A2．

P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝．                  4分

（2）X的可能取值为0，1，2．

记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，

B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，

B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，

B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．

则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝，

P(X＝2)＝P(B1·B3)＝P(B1)P(B3)＝，

P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－－＝．

∴X的分布列为

∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝．                  12分

解：（Ⅰ）正常工作的概率都是，且 能否正常工作相互独立．

系统M正常工作的概率为， -----------------3分

系统N正常工作的概率为.    ----------------6分

（Ⅱ）该装置中两套系统正常工作的套数为，显然=0，1，2．

，

，

．                             -----------------10分

所以的分布列为

．                                      -----------------12分

略

要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次

设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击次

记事件＝“射击一次，击中目标”，则．

∵射击次相当于次独立重复试验，

∴事件至少发生1次的概率为．

由题意，令，∴，∴，

∴至少取5．

答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次

【名师指引】要熟练掌握二项分布的特征，更要注意挖掘题目信息中的隐含信息。

（Ⅰ）小李第一次参加测试就合格的概率为；（Ⅱ）则x的分布列为

小李10月份参加测试的次数x的数学期望为.

试题分析：（Ⅰ）求小李第一次参加测试就合格的概率，由题意小李4次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列，可设第一次参加测试就合格的概率为，则小李四次测试合格的概率依次为，而他直到第二次测试才合格的概率为，即，解得或，又因为他第一次测试合格的概率不超过，可舍去；（Ⅱ）求小李10月份参加测试的次数x的分布列和数学期望，小李10月份参加测试的次数为，则，小李四次考核每次合格的概率依次为，根据相互独立事件同时发生的概率，得到分布列和期望．

试题解析：（Ⅰ）设小李四次测试合格的概率依次为：

a, a＋, a＋, a＋(a≤)，                               (2分)

则(1－a)(a＋)＝，即,

解得(舍)，                                 (5分)

所以小李第一次参加测试就合格的概率为；                 (6分)

（Ⅱ）因为P(x＝1)＝， P(x＝2)=，P(x＝3)＝，

P(x＝4)＝1－P(x＝1)－P(x＝2)－P(x＝3)＝，            (8分)

则x的分布列为

(10分)

所以，           

即小李10月份参加测试的次数x的数学期望为.           (12分)

(Ⅰ)         (Ⅱ)

【错解分析】判断事件的运算，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件

【正解】(Ⅰ)记"甲投篮1次投进"为事件A1， "乙投篮1次投进"为事件A2， "丙投篮1次投进"为事件A3，"3人都没有投进"为事件A．则P(A1)= ，P(A2)= ，P(A3)= ，

∴ P(A) = P(．．)=P()·P()·P()

= [1－P(A1)] ·[1－P (A2)] ·[1－P (A3)]=(1－)(1－)(1－)=

∴3人都没有投进的概率为 ．

(Ⅱ)解法一: 随机变量ξ的可能值有0，1，2，3， ξ~ B(3， )，

P(ξ=k)=C3k()k()3－k  (k=0，1，2，3) ， Eξ="np" = 3× =  ．

解法二: ξ的概率分布为:

Eξ=0×+1×+2×+3×=   ．

（1）；（2）。

试题分析：（1）由频率分布表得     2分

因为抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有3件，所以

等级编号为5的恰有2件，所以                 4分

从而. 所以          6分

（2）从产品中任取两件，所有可能的结果为：

共10种                                   8分

设事件A表示“从产品中任取两件，其等级编号相同”，则A包含的基本事件为：共4种              10分

故所求的概率                      12分

点评：典型题，统计中的抽样方法，频率分布表，概率计算及分布列问题，是高考必考内容及题型。古典概型概率的计算问题，关键是明确基本事件数，往往借助于“树图法”，做到不重不漏。

（1）0.7；（2）0.8；（3）0.5；有可能是乘火车或轮船来的；也有可能是乘汽车或飞机来的

第一问中，利用互斥事件的概率加法公式可知，乘火车或乘飞机来的概率为0.3＋0.4＝0.7.

第二问中，利用对立事件求解出乘轮船来的概率，用1减去得到

第三问中，结合已知的概率值，可知0.3＋0.2＝0.5,0.1＋0.4＝0.5，

故他有可能是乘火车或轮船来的；也有可能是乘汽车或飞机来的

解:(1)记“他乘火车来”为事件A1，“他乘轮船来”为事件A2，“他乘汽车来”为事件A3，“他乘飞机来”为事件A4，这四个事件中任两个不可能同时发生，故它们彼此互斥．

故P(A1∪A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7.

即他乘火车或乘飞机来的概率为0.7.

(2)P()＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8.

(3)由于0.3＋0.2＝0.5,0.1＋0.4＝0.5，

故他有可能是乘火车或轮船来的；也有可能是乘汽车或飞机来的