随机变量及其分布_章节学习

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题型：填空题

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填空题

某射手射击1次，击中目标的概率是0.9．他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：

①他第3次击中目标的概率是0.9

②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1

③他至少击中目标1次的概率是1-0.14

④他击中目标的平均次数是3.6次

其中结论正确的是______．

正确答案

∵射击一次击中目标的概率是0.9，

∴第3次击中目标的概率是0.9，

∴①正确，

∵连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，

∴本题是一个独立重复试验，

根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是C43×0.93×0.1

∴②不正确，

∵至少击中目标1次的概率用对立事件表示是1-0.14．

∴③正确，

他击中目标的次数ξ是一个二项分布，即ξ～B（4，0.9），平均次数是Eξ=0.9×4=3.6

∴④正确，

故答案为：①③④

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题型：简答题

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简答题

某办公室有5位教师，只有3台电脑供他们使用，教师是否使用电脑是相互独立的．

（1）若上午某一时段A、B、C三位教师需要使用电脑的概率分别是、、，求这一时段A、B、C三位教师中恰有2位教师使用电脑的概率；

（2）若下午某一时段每位教师需要使用电脑的概率都是，求在这一时段该办公室电脑使用的平均台数和无法满足需求的概率．

正确答案

（1）甲、乙、丙教师使用电脑的事件分别记为A、B、C，

因为各位教师是否使用电脑是相互独立的，

∴甲、乙、丙三位教师中恰有2位使用电脑的概率是：p=P(AB)+P(AC)+P(BC)=××(1-)+×(1-)×+(1-)××=

（2）电脑数无法满足需求，即指有4位以上（包括4位）教师同时需要使用电脑，

记有4位教师同时需要使用电脑的事件为M，

有5位教师同时需要使用电脑的事件为N，

P(M)=()4()，P(N)=()5

∴所求的概率是P=P（M）+P（N）=()4()+()5=．

∴Eξ=5×=，

即平均使用台数为台．

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题型：填空题

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填空题

某人投篮投进球的概率是，该人投球4次，则至少投进3个球且最后2个球都投进的概率是______．

正确答案

根据题意，分别用A、B、C、D表示事件第1、2、3、4次投篮命中，

则P（A）=P（B）=P（C）=P（D）=，

至少投进3个球且最后2个球都投进，即前2次中至少有1次命中而第3、4次全部投中，

其概率P=[1-P（•）]•P（C）•P（D）=，

故答案为．

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题型：填空题

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填空题

已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷四次，正面均朝上的概率为．若将这枚硬币抛掷三次，则恰有两次正面朝上的概率是______（用分数作答）．

正确答案

设一枚质地不均匀的硬币抛掷一次的概率为P，由于各次抛掷的结果之间是独立的

一枚质地不均匀的硬币抛掷四次，正面均朝上的概率为．故有P4==，解得P=

将这枚硬币抛掷三次，则恰有两次正面朝上的概率是×(

1

3

)2× =

故答案为

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分，如图，

甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在上记3分，在上记1分，其它情况记0分.对落点在上的来球，队员小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为；对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求：

（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；

（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.

正确答案

（I）小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.

（II）机变量的分布列为：

数学期望

试题分析：（I）记为事件“小明对落点在A上的来球的得分为分”（）

则，

记为事件“小明对落点在B上的来球的得分为分” （）

则，

记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”，

由题意，，

由事件的独立性和互斥性，即可得到小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率.

（II）由题意，随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6，

由事件的独立性和互斥性，得

可得随机变量的分布列为：

利用数学期望的计算公式得到

试题解析：（I）记为事件“小明对落点在A上的来球的得分为分”（）

则，

记为事件“小明对落点在B上的来球的得分为分” （）

则，

记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”，

由题意，，

由事件的独立性和互斥性，

,

所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.

（II）由题意，随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6，

由事件的独立性和互斥性，得

,

可得随机变量的分布列为：

所以数学期望

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题型：填空题

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填空题

任意确定四个日期，其中至少有两个是星期天的概率为________．

正确答案

记“取到的日期为星期天”为事件A，则P(A)＝，Ai表示取到的四个日期中有i个星期天(i＝0,1,2,3,4)，

则P(A0)＝C4004＝，

P(A1)＝C4113＝，

故至少有两个星期天的概率为

1－[P(A0)＋P(A1)]＝.

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题型：简答题

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简答题

任意确定四个日期，其中至少有两个是星期天的概率为________．

正确答案

记“取到的日期为星期天”为事件A，则P(A)＝，Ai表示取到的四个日期中有i个星期天(i＝0,1,2,3,4)，

则P(A0)＝C4004＝，

P(A1)＝C4113＝，

故至少有两个星期天的概率为

1－[P(A0)＋P(A1)]＝.

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题型：简答题

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简答题

某会议室用3盏灯照明，每盏灯各使用节能灯棍一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯棍的寿命有关，该型号的灯棍寿命为1年以上的概率为0.8，寿命为2年以上的概率为0.3，从使用之日起每满1年进行一次灯棍更换工作，只更换已坏的灯棍，平时不换．

（I）在第一次灯棍更换工作中，求不需要更换灯棍和更换2只灯棍的概率；

（Ⅱ）在第二次灯棍更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该灯需要更换灯棍的概率．

正确答案

（I）∵每盏灯能否正常照明只与灯棍的寿命有关，

寿命为1年以上的概率为0.8，寿命为2年以上的概率为0.3，

每只灯泡能否照明看做一次独立重复试验，

设在第一次更换灯棍工作中，不需要更换灯棍的概率为P1，需要列换2只灯棍的概率为p2则

∴P1=0.83=0.512

P2=C320.8（1-0.8）2=0.096

（II）假设该盏灯需要更换灯棍的概率为p，对该盏灯来说，设在第1，2次都更换了灯棍的概率为p3；

在第一次未更换灯棍而在第二次需要更换灯棍的概率为p4

则p=p3+p4=（1-0.8）2+0.8（1-0.3）=0.6

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题型：简答题

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简答题

一次国际乒乓球比赛中，甲、乙两位选手在决赛中相遇，根据以往经验，单局比赛甲选手胜乙选手的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的选手获胜，比赛结束．设全局比赛相互间没有影响，令ξ为本场比赛甲选手胜乙选手的局数（不计甲负乙的局数），求ξ的概率分布和数学期望（精确到0.0001）．

正确答案

甲选手胜乙选手的局数作为随机变量ξ，它的取值共有0、1、2、3四个值．

①当ξ=0时，本场比赛共三局，甲选手连负三局，

P（ξ=0）=（1-0.6）3=0.064；

②当ξ=1时，本场比赛共四局，甲选手负第四局，且前三局中，甲胜一局，

P（ξ=1）=C310.63×（1-0.6）3=0.1152；

③当ξ=2时，本场比赛共五局，甲选手负第五局，且前四局中，甲胜二局，

P（ξ=2）=C420.62×（1-0.6）3=0.13824；

④当ξ=3时，本场比赛共三局、或四局、或五局．其中共赛三局时，甲连胜这三局；

共赛四局时，第四局甲胜，且前三局中甲胜两局；共赛五局时，第五局甲胜，且前四局中甲胜两局；

P（ξ=3）=0.63+C320.63×（1-0.6）+C420.63×（1-0.6）2=0.68256

∴ξ的概率分布列为：

∴Eξ=0×0.064+1×0.1152+2×0.13824+3×0.68256=2.43926≈2.4394．

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题型：简答题

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简答题

某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响，若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为，按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．

（1）求一个零件经守检测为合格品的概率是多少？

（2）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？

（3）任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求Eξ．

正确答案

（1）设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2，

由题意得：

解得：P1=，P2=或P1=，P2=，

∴P=P1P2=．

即一个零件经过检测为合格品的概率为．

（2）任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为()5()5=；

（3）依题意知ξ～B（4，），∴Eξ=4×=2．

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题型：简答题

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简答题

某公司在产品上市前需对产品做检验，公司将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．

（I ）若公司库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率；

（II）若该公司发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收，分别求出该商家抽出不合格产品为1件和2件的概率，并求该商家拒收这批产品的概率．

正确答案

（Ⅰ）记“公司任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A．

有P（A）=1-P（）=1-0.24=0.9984．

（Ⅱ）记“商家任取2件产品检验，其中不合格产品数为i件”（i=1，2）为事件Ai，

P（A1）==，P（A2）==

∴商家拒收这批产品的概率P=P（A1）+P（A2）=+=．

故商家拒收这批产品的概率为．

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题型：简答题

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简答题

甲、乙两支足球队，苦战120分钟，比分为1 ：1，现决定各派5名队员，每人射一个点球决定胜负，假设两支球队派出的队员点球命中率均为

⑴两队球员一个间隔一个出场射球，有多少种不同的出场顺序？

⑵甲、乙两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率是多少？

正确答案

⑴两队球员一个间隔一个出场射球，出场顺序是28800。

⑵甲、乙两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率是

（1）此题为5个两类不同的元素的相间排列，其方法为：

（2）

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题型：简答题

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简答题

某篮球职业球赛总决赛在甲、乙两支球队之间进行，比赛采用三局二胜制，即哪个队先胜两场即可获得总冠军．已知在每场比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为．

求：①甲队以2：1获胜的概率；②第一场乙队胜的条件下，甲队获胜的概率．

（P(B|A))=表示事件B在事件A的条件下的概率）

正确答案

①甲队以2：1获胜的概率，说明比赛三场，甲队获胜2场，故其概率为×(

2

3

)2× =．

②第一场乙队胜的条件下，甲队获胜的概率，此种情况即是甲队后两场全胜，故其概率是×=．

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题型：简答题

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简答题

某公司的“咨询热线”电话共有6条外线，经长期统计发现，每天在电话高峰期内，外线电话同时打入的概率如下表（记电话同时打入数为ξ）：

（I）求ξ的数学期望Eξ；

（II）如果公司每天只安排两位接线员（一位接线员一次只能接一个电话），

①求每天电话高峰期内至少有一路电话不能一次接通的概率（用最简分数表示）；

②公司董事会决定，把“一周五个工作日中至少有四天在电话高峰期内电话都能一次接通”的概率视作公司的“美誉度”，如果“美誉度”低于0.8，就增派接线员，请你帮助计算一下，该公司是否需要增派接线员．

正确答案

（I）ξ的数学期望Eξ=0×0.13+1×0.35+2×0.27+3×0.14+4×0.08+5×0.02+6×0.01=1.79；

（II）①记“每天电话高峰期内至少有一路电话不能一次接通的概率”为P1，

则P1=1-(0.13+0.35+0.27)=0.25=

②记公司的“美誉度”为P2，则P2=(1-)4+(1-)5=，

显然P2＜0.8，故该公司需要增派接线员．

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题型：简答题

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简答题

设某一射手在射击时中靶的概率为0.4，假设每次射击相互独立，

（1）求5次射击中恰好中靶2次的概率；

（2）求5次射击中恰好第二、三次中靶的概率；

（3）要使靶子被击中的概率不低于0.95，至少要射击几次．（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）

正确答案

（1）5次射击中恰好中靶2次的概率为

C520.420.63=0.3456…（3分）

（2）5次射击中恰好第二、三次中靶的概率为

0.4×0.4=0.16…（6分）

（3）设要使靶子被击中的概率不低于0.95，至少要射击n次则

1-0.6n≥0.95…（9分）0.6n≤0.05，

∴n≥≈5.9…（11分）

∴n≥6

∴至少要射击6次，使靶子被击中的概率不低于0.95．…（12分）

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