- 随机变量及其分布
- 共3822题
某足球赛事中甲乙两中球队进入决赛，但乙队明显处于弱势，乙队为争取胜利决定采取这样的战术：顽强防守，0：0逼平甲队，进入点球大战．现规定：点球大战中每队各出5名队员，且每名队员都踢一球，假设在点球大战中双方每名运动员进球概率均为
（I）乙队踢进4个球的概率有多大？
（II）5个点球过后是4：4或5：5平局的概率有多大？
正确答案
（I）乙队踢进4个球的概率为P=
3
4
)4(
（II）5个点球过后是4：4的概率为
5个点球过后是5：5的概率为(
∴5个点球过后是4：4或5：5平局的概率为
答：乙队踢进4个球的概率为0.3995，5个点球过后是4：4或5：5平局的概率为0.2127．
在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的．若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：
（1）恰有两道题答对的概率；
（2）至少答对一道题的概率．
正确答案
视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次独立重复试验，
且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率均为
由独立重复试验的概率计算公式得：
（1）恰有两道题答对的概率为
P4（2）=C24（
（2）至少有一道题答对包括答对一道题目，答对两道题目，
答对三道题目，答对四道题目，这四种情况是互斥的，
∴至少答对一道题的概率C14（
在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的．若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：
（1）恰有两道题答对的概率；
（2）至少答对一道题的概率．
正确答案
视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次独立重复试验，
且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率均为
由独立重复试验的概率计算公式得：
（1）恰有两道题答对的概率为
P4（2）=C24（
（2）至少有一道题答对包括答对一道题目，答对两道题目，
答对三道题目，答对四道题目，这四种情况是互斥的，
∴至少答对一道题的概率C14（
已知一个口袋中装有
（1）当
（2）记三次摸球中（每次摸球后放回）恰有两次中奖的概率为
正确答案
（1）分布列见解析（2）
本题是一个在等可能性事件基础上的独立重复试验问题，体现了不同概型的综合．第Ⅲ小题中的函数是三次函数，运用了导数求三次函数的最值
（1）本题是一个等可能事件的概率，若n=3，一次摸奖中奖的概率p="5/9" ，三次摸奖是独立重复试验，然后利用n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式进行求解即可；
（2）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸奖（每次摸奖后放回），恰有一次中奖的概率为P为P=P3（1）=C31•p•（1-p）2=3p3-6p2+3p，当p=
解：（1）当
（2）设每次摸奖中奖的概率为
又
一名大学毕业生到某单位应聘，需进行书面测试，要求按顺序完成6道相互独立的题，这名大学毕业生正确做出每一道题的概率都是
（Ⅰ）求这名大学毕业生首次做错一道题前，已正确做出了两道题的概率；
（Ⅱ）若这名大学毕业生至少正确做出5道题，才能通过书面测试，求这名大学毕业生通过书面测试的概率．
正确答案
（Ⅰ）设“正确解出第i道题”为事件Ai（i=1，2，3，4，5，6），则P(Ai)=
∴P(A1A2
（Ⅱ）记通过书面测试这一关为事件B，而这名大学毕业生至少正确做出5道题，
即正确做出5道题或6道题才能通过书面测试，故P(B)=
答：（Ⅰ）中所求概率为 
某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立），
（1）求至少3人同时上网的概率；
（2）至少几人同时上网的概率小于0.3？
正确答案
（1）根据题意，可得，“至少3人同时上网”与“至多2人同时上网”互为对立事件，
故“至少3人同时上网”的概率等于1减去“至多2人同时上网”的概率，
即“至少3人同时上网”的概率为1-C60（0.5）6-C61（0.5）6-C66（0.5）6=1-
（2）至少4人同时上网的概率为C64（0.5）6+C65（0.5）6+C66（0.5）6=
至少5人同时上网的概率为（C65+C66）（0.5）6=
因此，至少5人同时上网的概率小于0.3．
从10个元件中（其中4个相同的甲品牌元件和6个相同的乙品牌元件）随机选出3个参加某种性能测试．每个甲品牌元件能通过测试的概率均为
（I）选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率；
（II）若选出的三个元件均为乙品牌元件，现对它们进行性能测试，求至少有两
个乙品牌元件同时通过测试的概率．
正确答案
（Ⅰ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件数C103，
而满足条件的事件是选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件，
它的对立事件是没有甲品牌的元件，
设事件A：选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件；
则P（
由对立事件的概率公式得到
∴P（A）=1-
即随机选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率为
（Ⅱ）设事件B：选出的三个均为乙品牌元件，至少有两个乙品牌元件通过测试，
至少有两个乙品牌元件同时通过测试包括两种情况，一是有两个通过测试，二是三个都通过测试，这两种情况是互斥的，
∴P（B）=
3
5
)2(1-
3
5
)3=
即至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率为
（本小题满分14分）甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，采用五局三胜制（即先胜三局者获冠军）．对于每局比赛，甲获胜的概率为
正确答案
解：如果某方以
乙胜五局的概率为
乙胜三局负二局的概率为
以上结果相加，得乙在五局中至少赢三局的概率为
某中学有5名体育类考生要到某大学参加体育专业测试，学校指派一名老师带队，已知每位考生测试合格的概率均为
（Ⅰ）若他们随机坐在所乘坐的汽车的前后两排各三个座位上，求体育老师不坐后排的概率；
（Ⅱ）若5人中恰有r人合格的概率为
正确答案
（Ⅰ）体育老师的坐法共有3+3=6种，不坐后排的坐法共有3种，
故体育老师不坐后排的概率为
（Ⅱ）5人中恰有r人合格的概率
由题意可得 
解得r=3或4．…（12分）
每进行一次游戏，赢的话可领取1000元，输的话则要罚300元．在这种游戏中某人赢的概率是
（1）在这8次游戏中，求赢了多少次才能保证在扣除罚款后至少可得6000元；
（2）试求在这8次游戏中，扣除罚款后至少可得到6000元的概率．
正确答案
（1）设赢了x次，由题意可得 1000x-300（8-x）≥6000，解得 x≥6
故赢了7次才能保证在扣除罚款后至少可得6000元．
（2）在这8次游戏中，赢了7次或8次，才能保证扣除罚款后至少可得到6000元，
故所求的概率为 
1
3
)7•
1
3
)8=
一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为q．若第k次出现“○”，则ak=1；出现“×”，则ak=-1．令Sn=a1+a2+…+an（n∈N*）．
（1）当p=q=
（2）当p=
正确答案
（1）当p=q=
故S6=2的概率为
∴S6≠2的概率为P1=1-
（2）当S8=2时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知Si≥0（i=1，2，3，4），
若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；
若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次．
故此时的概率为P=(
一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为q．若第k次出现“○”，则ak=1；出现“×”，则ak=-1．令Sn=a1+a2+…+an（n∈N*）．
（1）当p=q=
（2）当p=
正确答案
（1）当p=q=
故S6=2的概率为
∴S6≠2的概率为P1=1-
（2）当S8=2时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知Si≥0（i=1，2，3，4），
若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；
若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次．
故此时的概率为P=(
一次测量中，出现正误差和负误差的概率均为
正确答案
至少3次正误差包含三种情形3次、4次、5次正误差
∴至少3次正误差的概率是
1
2
)5+
1
2
)5+
1
2
)5=
故答案为：
已知盒中有件10产品，其中8件正品，2件次品，连续抽取三次，每次抽取一件，有放回的抽取（1）求抽到3件次品的概率；（2）求抽到次品数ξ的分布列及数学期望．
正确答案
（1）∵盒中有件10产品，其中8件正品，2件次品，
连续抽取三次，每次抽取一件，有放回的抽取，
∴抽到的次品数ξ～B（3，0.2）…（2分）
∴抽到3件次品的概率是P（ξ=3）=C33×0.23×0.80=0.008…（6分）
（2）抽到的次品数ξ的可取值k=0，1，2，3…（7分）
由ξ～B（3，0.2），
∴P（ξ=k）=C3k×0.2k×0.83-k（k=0，1，2，3）…（8分）
∴ξ的分布列是
…（10分）
数学期望Eξ=3×0.2=0.6…（12分）
若血色素化验的准确率是p，则在10次化验中，最多一次不准的概率为______．
正确答案
事件“最多一次不准”包括“全部准确”和“只有一次不准”这两个基本事件．
P（全部准确）=P10，P（只有一次不准确）=C101（1-P） P9，
故最多一次不准的概率为P10+C101（1-P）P9=P9（10-P），
故答案为P9（10-9P ）．
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