- 随机变量及其分布
- 共3822题
某篮球职业联赛总决赛在甲、乙两支球队之间进行，比赛采用五局三胜制，即哪个队先胜三场即可获得总冠军．已知在每一场比赛中，甲队获胜的概率均为
（Ⅰ）甲队以3：0获胜的概率；
（Ⅱ）甲队获得总冠军的概率．
正确答案
（I）设“甲队以3：0获胜”为事件A，事件A即甲对连胜3局，
则P(A)=(
（II）设“甲队获得总冠军”为事件B，
则事件B包括甲对以3：0；3：1；3：2取胜三种情况
若以3：0胜，则P1=(
若以3：1胜，则P2=
若以3：2胜，则P3=
所以，甲队获得总冠军的概率为P(B)=P1+P2+P3=
某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为
（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；
（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；
（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列。
正确答案
解：（1）记“射手射击1次，击中目标”为事件A，则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率，
（2）射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率
（3）由题设，“ξ=k”的概率为
所以，ξ的分布列为
某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买。根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6。经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元，
（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；
（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率。
正确答案
解：（I）记A表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，
则
（II）记B表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”，
B0表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”，
B1表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”，
则B=B0+B1，
已知将一枚残缺不均匀的硬币连抛三次落在平地上，三次都正面朝上的概率为
（1）求将这枚硬币连抛三次，恰有两次正面朝上的概率；
（2）若甲将这枚硬币连抛三次之后，乙另抛一枚质地均匀的硬币两次．若正面朝上的总次数多者为胜者，求甲获胜的概率？
正确答案
（1）由题意知：将一枚硬币每抛一次正面朝上的概率P3=
设“这枚硬币连抛三次，恰有两次正面朝上”的事件为A，
则P(A)=
（2）甲获胜的情况有三种：3：X，2：1和1：0，它们的概率分别为P1，P2和P3
P1=
P2=
P3=
故甲获胜的概率为：P=P1+P2+P3=
如果学生甲每次投篮投中的概率为
正确答案
①C32（
②“至少有一次投中”的对立事件是“一次都没投中”．
“一次都没投中”的概率为
故填：
甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0.9，乙机床产品的正品率是0.95，
（1）从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用数字作答）；
（2）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率（用数字作答）。
正确答案
解：（1）任取甲机床的3件产品中恰有2件正品的概率为
（2）记“任取甲机床的1件产品是正品”为事件A，“任取乙机床的1件产品是正品”为事件B，
则任取甲、乙两台机床的产品各1件，其中至少有1件正品的概率为
某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）。若安检不合格，则必须进行整改。若整改后经复查仍不合格，则强行关闭。设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01），
（Ⅰ）恰好有两家煤矿必须整改的概率；
（Ⅱ）平均有多少家煤矿必须整改；
（Ⅲ）至少关闭一家煤矿的概率。
正确答案
解：（Ⅰ）每家煤矿必须整改的概率是1-0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的，
所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是
（Ⅱ）由题设，必须整改的煤矿数ξ服从二项分布B（5，0.5），
从而ξ的数学期望是Eξ
即平均有2.50家煤矿必须整改；
（Ⅲ）某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，
所以该煤矿被关闭的概率是
从而该煤矿不被关闭的概率是0.9，
由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，
所以至少关闭一家煤矿的概率是
甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是
(Ⅰ)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
(Ⅱ)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
(Ⅲ)假设某人连续2次未击中目标，则停止射击。问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
正确答案
解：（Ⅰ）记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A1，
由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，
故
答：甲连续射击4次至少有1次未击中目标的概率为
（Ⅱ）记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B2，
则
由于甲、乙射击相互独立，故
答：两人各射击4次，甲恰有2次击中目标乙恰有3次击中目标的概率为
（Ⅲ）记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A3，
“乙第i次射击未击中”为事件Di（i=1，2，3，4，5），
则
由于各事件相互独立，故
答：乙恰好射击5次后被中止射击的概率为
甲、乙、丙三人在同一办公室工作，办公室里只有一部电话机，设经该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为
求：(1)这三个电话是打给同一个人的概率；
(2)这三个电话中恰有两个是打给甲的概率．
正确答案
解：(1)由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式，
得所求概率为P=
(2)这是n=3，p=
故所求概率为P3(2)=
某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株，设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为
（1）至少有1株成活的概率；
（2）两种大树各成活1株的概率。
正确答案
解：设
设
则
且
（1）至少有1株成活的概率为：
（2）由独立重复试验中事件发生的概率公式知，两种大树各成活1株的概率为：
某市图书馆有三部电梯，每位乘客选择哪部电梯到阅览室的概率都是
(Ⅰ)求5位乘客选择乘同一部电梯到阅览室的概率；
(Ⅱ)若记5位乘客中乘第一部电梯到阅览室的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望。
正确答案
解：(Ⅰ)因为每位乘客选择哪部电梯到阅览室的概率都是
所以，5位乘客选择同一部电梯的概率
(Ⅱ)∵
所以，
∴
一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是l，2，3，4，5，现从盒子中随机抽取卡片，
(Ⅰ)若从盒子中有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率；
(Ⅱ)若从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X的分布列和期望。
正确答案
解：(Ⅰ)设A表示事件“有放回地抽取3次卡片，每有两次取到的卡片上数字为偶数”，
由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为
则
(Ⅱ)依题意，X的可能取值为1，2，3，4，
所以，X的分布列为
某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株，设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为
（1）至少有一株成活的概率；
（2）两种大树各成活1株的概率。
正确答案
解：设
设
则
且
（1）至少有1株成活的概率为：
（2）由独立重复试验中事件发生的概率公式知，两种大树各成活1株的概率为：
某校有一贫困学生因病需手术治疗，但现在还差手术费1.1万元，团委计划在全校开展爱心募捐活动，为了增加活动的趣味性吸引更多学生参与，特举办“摇奖100%中奖”活动。凡捐款10元者，享受一次摇奖机会，如图是摇奖机的结构示意图，摇奖机的旋转盘是均匀的，扇形区域A，B，C，D，E所对应的圆心角的比值分别为1：2：3：4：5。相应区域分别设立一、二、三、四、五等奖，奖品分别为价值分别为5元、4元、3元、2元、1元的学习用品。摇奖时，转动圆盘片刻，待停止后，固定指针指向哪个区域（边线忽略不计）即可获得相应价值的学习用品（如图指针指向区域C，可获得价值3元的学习用品），
（Ⅰ）预计全校捐款10元者将会达到1500人次，那么除去购买学习用品的款项后，剩余款项是否能帮助该生完成手术治疗？
（Ⅱ）如果学生甲捐款20元，获得了两次摇奖机会，求他获得价值6元的学习用品的概率。
正确答案
解：（Ⅰ）设摇奖一次，获得一、二、三、四、五等奖的事件分别记为A，B，C，D，E，
则其概率分别为
设摇奖一次支出的学习用品相应的款项为ζ，
则ζ的分布列为：
若捐款10元者达到1500人次，
那么购买学习用品的款项为1500ζ=3500（元），
除去购买学习用品的款项后，
剩余款项为
故剩余款项可以帮助该生完成手术治疗。
（Ⅱ）记事件20元获得价值6元的学习用品F，
则
即学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品的概率为
某体育项目的比赛规则由三局两胜改为五局三胜的新赛制，由以往的经验，单场比赛甲胜乙的概率为
（1）依以往的经验，在新赛制下，求乙以3：2获胜的概率；
（2）试用概率知识解释新赛制对谁更有利。
正确答案
解：（1 ）记A表示事件：“在新赛制下，乙以3：2获胜”，
则
因此，在新赛制下，乙以3：2获胜的概率为
（2）记B表示事件：“采用新赛制，乙获胜”，
B1表示事件：“采用新赛制，乙以3：0获胜”，
B2表示事件：“采用新赛制，乙以3：1获胜”，
B3表示事件：“采用新赛制，乙以3：2获胜”，
则B=B1+B2+B3，且B1，B2，B3彼此互斥，
采取新赛制，乙获胜的概率
P（B）=P（B1+B2+B3）=P（B1）+P（B2）+P（B3）
记C表示事件：“采取三局两胜制，乙获胜”，
同理，采取三局两胜制，
乙获胜的概率
所以，采取新赛制对甲更有利。
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