- 随机变量及其分布
- 共3822题
每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6）。
（1）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；
（2）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；
（5）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。
正确答案
解：（1）设A表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则
答：抛掷2次，向上的数不同的概率为
（2）设B表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”。
向上的数之和为6的结果有
∴
答：抛掷2次，向上的数之和为6的概率为
（3）设C表示事件“抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次”，即在5次独立重复试验中，事件“向上的数为奇数”恰好出现3次
∴
答：抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次的概率为
一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是l，2，3，4，5，现从盒子中随机抽取卡片，
(Ⅰ)若从盒子中有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率；
(Ⅱ)若从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X的分布列和期望。
正确答案
解：(Ⅰ)设A表示事件“有放回地抽取3次卡片，每有两次取到的卡片上数字为偶数”，
由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为
则
(Ⅱ)依题意，X的可能取值为1，2，3，4，
所以，X的分布列为
有A、B、C、D、E共5个口袋，每个口袋装有大小和质量均相同的4个红球和2个黑球，现每次从其中一个口袋中摸出3个球，规定：若摸出的3个球恰为2个红球和1个黑球，则称为最佳摸球组合．
（1）求从口袋A中摸出的3个球为最佳摸球组合的概率；
（2）现从每个口袋中摸出3个球，求恰有3个口袋中摸出的球是最佳摸球组合的概率．
正确答案
解：（1）从口袋A中摸出的3个球为最佳摸球组合即为从口袋A中摸出2个红球和1个黑球，其概率为 P=
（2）由题意知：每个口袋中摸球为最佳组合的概率相同，从5个口袋中摸球可以看成5次独立重复试难，
故所求概率为 P=C53
某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同。假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2；从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换，
（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；
（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；
（Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作中，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）。
正确答案
解：（Ⅰ）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为
需要更换2只灯泡的概率为
（Ⅱ）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p1）2；
在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1(1-p2)，
故所求的概率为
（Ⅲ）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p5（其中p为（Ⅱ）中所求，下同），
换4只的概率为
故至少换4只灯泡的概率为
又当p1=0.8，p2=0.3时，
∴
即满两年至少需要换4只灯泡的概率为0.34。
甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是
(Ⅰ)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
(Ⅱ)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
(Ⅲ)假设某人连续2次未击中目标，则停止射击。问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
正确答案
解：（Ⅰ）记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A1，
由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，
故
答：甲连续射击4次至少有1次未击中目标的概率为
（Ⅱ）记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B2，
则
由于甲、乙射击相互独立，故
答：两人各射击4次，甲恰有2次击中目标乙恰有3次击中目标的概率为
（Ⅲ）记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件B3，
“乙第i次射击未击中”为事件Di（i=1，2，3，4，5），
则
由于各事件相互独立，故
答：乙恰好射击5次后被中止射击的概率为
在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断正确的概率为p，判断错误的概率为q，若判断正确则加1分，判断错误则减1分，现记“该明星答完n题后总得分为Sn”．
（1）当p=q=
（2）当p=
正确答案
（1）∵ξ=|S3|的取值为1，3，又p=q=
∴P(ξ=1)=2
P(ξ=3)=(
∴ξ的分布列为：
∴Eξ=1×
Dξ=
3
2
)2+
3
2
)2=
（2）当S 8=2时，即答完8题后，回答正确的题数为5题，回答错误的题数是3题，
又已知Si≥0（i=1，2，3，4），若第一题和第二题回答正确，则其余6题可任意答对3题；
若第一题正确，第二题回答错误，第三题回答正确，则后5题可任意答对3题．
此时的概率为P=(
小白鼠被注射某种药物后，只会表现为以下三种症状中的一种：兴奋、无变化（药物没有发生作用）、迟钝．若出现三种症状的概率依次为
（Ⅰ）求这三只小白鼠表现症状互不相同的概率；
（Ⅱ）用ξ表示三只小白鼠共表现症状的种数，求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）用Ai（i=1，2，3）表示第一只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝， 用Bi（i=1，2，3）表示第二只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝， 用Ci（i=1，2，3）表示第三只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝．
三只小白鼠反应互不相同的概率为P=A33P（A1B2C3）=6×
（Ⅱ）ξ可能的取值为 ξ=1，2，3
P（ξ=3）=
故 P（ξ=2）=1﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=1﹣
所以，ξ的分布列是
某项试验在甲、乙两地各自独立地试验两次，已知在甲、乙两地每次试验成功的概率依次为
（Ⅰ）求以上的四次试验中，至少有一次试验成功的概率；
（Ⅱ）在以上的四次试验中，求恰有两次试验成功的概率。
正确答案
解：（Ⅰ）设至少有一次试验成功的概率为p1，
依题意得
（Ⅱ）设恰有两次试验成功的概率p2，
依题意得
在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的。若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：
（Ⅰ）恰有两道题答对的概率；
（Ⅱ）至少答对一道题的概率。
正确答案
解：视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次独立重复试验，
且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为
设答对的题数为X，则X～B
(Ⅰ)恰有两道题答对的概率为
(Ⅱ)至少有一道题答对的概率为
在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的。若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：
（Ⅰ）恰有两道题答对的概率；
（Ⅱ）至少答对一道题的概率。
正确答案
解：视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次独立重复试验，
且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为
由独立重复试验的概率计算公式得：
(Ⅰ)恰有两道题答对的概率为
(Ⅱ)至少有一道题答对的概率为
在一次口试中，要从5道题中随机抽出3道题进行回答，答对其中的2道题就获得优秀，答对其中的1道题就获得及格．某考生会回答5道题中的2道题．求：
（1）他获得优秀的概率是多少？
（2）他获得及格或及格以上的概率是多少？
正确答案
（1）从5道题中随机抽出3道题进行回答的抽法有C53=10种，他获得优秀的抽法有C22C31=3种，
故他获得优秀的概率是 
（2）他获得及格或及格以上的概率等于1减去他不及格的概率，即 1-
设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=______时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为______．
正确答案
由独立重复试验的方差公式可以得到
Dξ=npq≤n（
等号在p=q=
∴Dξ=100×
故答案为：
某篮运动员在三分线投球的命中率是
正确答案
现有三人被派去各自独立地解答一道数学问题，已知三人各自解答出的问题概率分别为
（Ⅰ）求恰有二人解答出问题的概率；
（Ⅱ）求“问题被解答”与“问题未被解答”的概率．
正确答案
记“第i个人解答出问题”为事件Ai（i=1，2，3），依题意有 …（1分）
P（A1）=
且A1，A2，A3相互独立．…（4分）
（Ⅰ）设“恰好二人解答出问题”为事件B，则有
B=A1A2
于是P（B）=P（A1A2
=
答：恰好二人解答出问题的概率为
（Ⅱ）设“问题被解答”为事件C，“问题未被解答”为事件D．
D=
则P（D）=P（
而P（C）=1-P（D）=
同时抛掷3枚硬币，恰好有两枚正面向上的概率为（ ）。
正确答案
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