- 随机变量及其分布
- 共3822题
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示，
(Ⅰ)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；
(Ⅱ)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列；
(Ⅲ)从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．
正确答案
解：(Ⅰ)根据频率分布直方图可知，
重量超过505克的产品数量为[(0.01+0.05)×5]×40=12（件）；
(Ⅱ)Y的可能取值为0，1，2，
Y的分布列为
(Ⅲ)利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率为0.3，
令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量，则ξ~B(5，0.3)，
故所求概率为P(ξ=2)
（在一次智力竞赛中，比赛共分为两个环节：选答、抢答．第一环节“选答”中，每位选手可以从6个题目（其中4个选择题、2个操作题）中任意选3个题目作答，答对每个题目可得100分；第二环节“抢答”中一共为参赛选手准备了5个抢答题，在每一个题目的抢答中，每个选手抢到的概率是相等的，现有甲、乙、丙三位选手参加比赛．试求：
（1）乙选手在第一环节中至少选到一个操作题的概率是多少？
（2）在第二环节中，甲选手抢到的题目多于乙选手而不多于丙选手的概率是多少？
正确答案
（1）在第一环节中，乙选手可以从6个题目（其中4个选择题、2个操作题）中任意选3个题目作答，
一共有C63种不同的选法，其中没有操作题的选法有C43种，
所以至少有一个操作题的概率是P1=1-
（2）在第二环节中，甲选手抢到的题目多于乙选手而不多于丙选手的情况共有以下三种情况：
甲、乙、丙三位选手抢到题目的数目分别为：1，0，4；2，0，3；2，1，2．
所以所求概率为P2=C51（
随机变量ξ服从二项分布，且ξ～B（10，0.8），则D（ξ）=______．
正确答案
∵随机变量ξ服从二项分布，且ξ～B（10，0.8），
∴D（ξ）=10×0.8×（1-0.8）=1.6
故答案为：1.6
设一随机试验的结果只有A和
正确答案
∵由题意知一随机试验的结果只有A和 
且P（A）=P，随机变量X=
∴X服从两点分布，
∴DX=p（1-p）．
故答案为：p（1-p）．
袋中有大小相同的4个红球与2个白球．
（1）若从袋中依次不放回取出一个球，求第三次取出白球的概率；
（2）若从袋中依次不放回取出一个球，求第一次取出红球的条件下第三次仍取出红球的概率．
（3）若从中有放回的依次取出一个球，记6次取球中取出红球的次数为ξ，求P（ξ≤4）与E（9ξ﹣1）．
正确答案
解：（1）从袋中依次不放回取出一个球取三次共有
第三次取出白球共有
∴从袋中依次不放回取出一个球，第三次取出白球的概率为
（2）第一次取出红球后，还剩下3红2白，共5个球，
故第一次取出红球的条件下第三次仍取出红球的概率为
（3）记取一次球取出红球为事件A，则
ξ服从二项分布，即ξ～B（6，
∴
∵Eξ=6×
∴E（9ξ﹣1）=9Eξ﹣1=9×4﹣1=35
如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B或C。已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1，2，3等奖，
(Ⅰ)已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%。记随机变量ξ为获得k(k=1，2，3)等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ；
(Ⅱ)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η=2)．
正确答案
解：(Ⅰ)由题意得ξ的分布列为
则
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，获得1等奖或2等奖的概率为
由题意得
则
设随机变量ξ～B（2，P），随机变量η～B（3，P），若P（ξ≥1）=
正确答案
∵变量ξ～B（2，p），且P（ξ≥1）=
∴P（ξ≥1）=1-P（ξ＜1）=1-C20•（1-p）2=
∴p=
∴P（η≥1）=1-P（η=0）=1-C30（ 
故答案为：
已知随机变量ξ～B（6，p），且P（ξ=3）=
正确答案
∵ξ～B（6，p），P（ξ=3）=
∴C63p3(1-p)3=
∴p=
故答案为：
设X～B（3，p），且 P（X=2）=
正确答案
某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p。若此人未能通过的科目数ξ的均值是2，则p=（ ）。
正确答案
在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的．假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的．
（1）求蜜蜂落入第二实验区的概率；
（2）若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；
（3）记X为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X的数学期望EX．
正确答案
解：
（1）由题意知蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，可以得到这是一个等可能事件的概率，记“蜜蜂落入第一实验区”为事件A，“蜜蜂落入第二实验区”为事件B．依题意，
∴
∴蜜蜂落入第二实验区的概率为
（2）本题符合独立重复试验，记“恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区”为事件C，则
∴恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率
（3）因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，∴变量X满足二项分布，即X～
∴随机变量X的数学期望EX=40×
如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．
（1）求p；
（2）求电流能在M与N之间通过的概率；
（3）ξ表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．
正确答案
解：记Ai表示事件：电流能通过Ti，i=1、2、3、4，A表示事件：T1，T2，T3中至少有一个能通过电流，B表示事件：电流能在M、N之间通过．
（I）
∴P（
又∵P（
∴（1﹣p）3=0.001，
解之得p=0.9
（II）∵B=A4+
∴P（B）=P（A4）+P（
=P（A4）+P（
=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9=0.9891
即电流能在M与N之间通过的概率为0.991
（III）由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能通过各元件相互独立，
用ξ表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，则ξ服从二项分布，n=4且p=0.9
即ξ～B（4，0.9），
由二项分布的数学期望公式，
得Eξ=4×0.9=3.6
即ξ的期望为3.6
购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为
（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；
（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）。
正确答案
解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，
记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则
（Ⅰ）记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，
则
又
故p=0.001。
（Ⅱ）该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和，
支出
盈利
盈利的期望为
由
故每位投保人应交纳的最低保费为15元。
已知ξ～B（n，p），Eξ=3，D（2ξ+1）=9，则n、p的值分别是______．
正确答案
∵ξ～B（n，p），Eξ=3，D（2ξ+1）=9，
∴Dξ=
∴np=3，①
np（1-p）=
∴
∴p=
∵
∴n=12
故答案为：12；
如果随机变量ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，则P等于______．
正确答案
∵随机变量ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，
∴
∴7（1-p）=6，
1-p=
解得p=
故答案为：
扫码查看完整答案与解析