双曲线的定义及标准方程
共193题

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双曲线的定义及标准方程
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题型：填空题

填空题 · 4 分

过双曲线的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 .

正确答案

解析

不妨设F为左焦点，过F作渐近线的垂线，垂足为M,若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则说明直角三角形FMO为等腰直角三角形，所以渐近线的的斜率为1，即，所以，所以双曲线的离心率为。

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知双曲线右支上的一点到左焦点与到右焦点的距离之差为8，且到两渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（）

正确答案

解析

因为双曲线右支上的一点到左焦点的距离与到右焦点的距离之差为8，所以，又因为点到两条渐近线的距离之积为，双曲线的两渐近线方程分别为和，所以根据距离公式得，所以，即，又因为，所以，离心率.故选.

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知双曲线的两焦点为，为动点，若。

（1）求动点的轨迹方程；

（2）若，设直线过点，且与轨迹交于、两点，直线与交于点，试问：当直线在变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）由题意知：，又∵，∴动点必在以为焦点，

长轴长为4的椭圆，∴，又∵，，

∴椭圆的方程为。

（2）由题意，可设直线为：。

① 取得，直线的方程是

直线的方程是交点为

若，由对称性可知交点为

若点在同一条直线上，则直线只能为。

②以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。

事实上，由，得即，

记，则。

设与交于点由得

，

∴，即与重合，

这说明，当变化时，点恒在定直线上。

解法二：

（1）同解法一。

（2）取得，直线的方程是直线的方程是交点为

取得，直线的方程是直线的方程是交点为∴若交点在同一条直线上，则直线只能为。

以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。

事实上，由，得即，

记，则。

的方程是的方程是

消去得…………………………………… ①

以下用分析法证明时，①式恒成立。

要证明①式恒成立，只需证明

即证即证……………… ②

∵∴②式恒成立。

这说明，当变化时，点恒在定直线上。

解法三：（1）同解法一，（2）由，得即。

记，则。

的方程是的方程是

由得

即

。

这说明，当变化时，点恒在定直线上。

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知A，B，P是双曲线上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线

PA，PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率为 ▲ 。

正确答案

解析

一定关于原点对称，设，，

则，，

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 16 分

已知双曲线的中心在原点，是它的一个顶点，是它的一条渐近线的一个方向向量。

（1）求双曲线的方程；

（2）若过点（）任意作一条直线与双曲线交于两点（都不同于点），求的值；

（3）对于双曲线:，为它的右顶点，为双曲线上的两点（都不同于点），且，求证：直线与轴的交点是一个定点.

正确答案

见解析

解析

解析：（1）设双曲线C的方程为，则，…….2分

又，得，所以，双曲线C的方程为. ………….4分

(2) 当直线垂直于轴时，其方程为，的坐标为（,）、（,），

，所以=0. ………………..6分

当直线不与轴垂直时，设此直线方程为，由得

设，则, ，……………..8分

故

.……....9分

＋＋=0 。综上，=0. ………………10分

（3）设直线的方程为：，

由，得,

设，则, ，…………12分

由，得，

即,………………14分

，

化简得，或（舍）, ……………………………………….15分

所以，直线过定点（,0）. ………………………………..16分

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 4 分

F1、F2为双曲线C：（＞0，b＞0）的焦点，A、B分别为双曲线的左、右顶点，以F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且满足MAB=30°，则该双曲线的离心率为 ▲ .

正确答案

解析

由，解得，即交点M的坐标，连结MB，则,即为直角三角形，由MAB=30°得，即，所以，所以，所以双曲线的离心率.

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知双曲线C:的右顶点、右焦点分别为A、F,它的左准线与轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为 .

正确答案

‍

解析

由题意知：，则，

即，解得

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

若双曲线的焦点到渐近线的距离为，则实数k的值是 ▲ 。

正确答案

解析

法一：双曲线的渐近线方程为；焦点坐标是。

由焦点到渐近线的距离为，不妨。解得。

法二：可以将问题变为“若椭圆的离心率为，则实数k= ”，这时需要增加分类讨论的意思

法三：结论法: 在双曲线中，双曲线的焦点到渐近线的距离为b 【在本题中，则b 2=k=（)2=8】

知识点

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题型：填空题

填空题 · 5 分

已知双曲线﹣=1的离心率为，则实数m的值为　　。

正确答案

解析

∵双曲线﹣=1的离心率为，

∴，

∴m=4。

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

双曲线x2﹣y2=2012的左、右顶点分别为A1、A2，P为其右支上一点，且∠A1PA2=4∠PA1A2，则∠PA1A2等于（　　）

A无法确定

正确答案

解析

解：设P（x，y），y＞0，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，

则，（其中a2=2012）

∴

∴，

设∠PA1A2=α，则∠PA2H=5α，∴，∴，

即

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