双曲线的定义及标准方程
共193题

· 双曲线的定义及标准方程

双曲线的定义及标准方程
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题型：填空题

填空题 · 4 分

过双曲线的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 .

正确答案

解析

不妨设F为左焦点，过F作渐近线的垂线，垂足为M,若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则说明直角三角形FMO为等腰直角三角形，所以渐近线的的斜率为1，即，所以，所以双曲线的离心率为。

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知双曲线右支上的一点到左焦点与到右焦点的距离之差为8，且到两渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（）

正确答案

解析

因为双曲线右支上的一点到左焦点的距离与到右焦点的距离之差为8，所以，又因为点到两条渐近线的距离之积为，双曲线的两渐近线方程分别为和，所以根据距离公式得，所以，即，又因为，所以，离心率.故选.

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 16 分

已知双曲线的中心在原点，是它的一个顶点，是它的一条渐近线的一个方向向量。

（1）求双曲线的方程；

（2）若过点（）任意作一条直线与双曲线交于两点（都不同于点），求的值；

（3）对于双曲线:，为它的右顶点，为双曲线上的两点（都不同于点），且，求证：直线与轴的交点是一个定点.

正确答案

见解析

解析

解析：（1）设双曲线C的方程为，则，…….2分

又，得，所以，双曲线C的方程为. ………….4分

(2) 当直线垂直于轴时，其方程为，的坐标为（,）、（,），

，所以=0. ………………..6分

当直线不与轴垂直时，设此直线方程为，由得

设，则, ，……………..8分

故

.……....9分

＋＋=0 。综上，=0. ………………10分

（3）设直线的方程为：，

由，得,

设，则, ，…………12分

由，得，

即,………………14分

，

化简得，或（舍）, ……………………………………….15分

所以，直线过定点（,0）. ………………………………..16分

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 4 分

F1、F2为双曲线C：（＞0，b＞0）的焦点，A、B分别为双曲线的左、右顶点，以F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且满足MAB=30°，则该双曲线的离心率为 ▲ .

正确答案

解析

由，解得，即交点M的坐标，连结MB，则,即为直角三角形，由MAB=30°得，即，所以，所以，所以双曲线的离心率.

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知双曲线﹣=1的离心率为，则实数m的值为　　。

正确答案

解析

∵双曲线﹣=1的离心率为，

∴，

∴m=4。

知识点

双曲线的定义及标准方程

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