- 双曲线的定义及标准方程
- 共193题
双曲线的左、右焦点分别为
和
,左、右顶点分别为
和
,过焦点
与
轴垂直的直线和双曲线的一个交点为
,若
是
和
的等差中项,则该双曲线的离心率为
正确答案
2
解析
由题可知,则
,化简得
,故
.
知识点
已知曲线的方程为
,曲线
是以
、
为焦点的椭圆,点
为曲线
与曲线
在第一象限的交点,且
。
(1)求曲线的标准方程;
(2)直线与椭圆
相交于
,
两点,若
的中点
在曲线
上,求直线
的斜率
的取值范围。
正确答案
(1)(2)
解析
(1)依题意,,
,利用抛物线的定义可得
,
点的 坐标为
…………………2分
,又由椭圆定义得
.………………4分
,所以曲线
的标准方程为
; …………………6分
(2)(方法一)设直线与椭圆
交点
,
的中点
的坐标为
,
设直线方程为
与联立得
由① …………………8分
由韦达定理得
将M(,
)代入
整理得
②……………10分
将②代入①得
令则
且
…………………12分
(方法二)设直线与椭圆
交点
,
的中点
的坐标为
,
将的坐标代入椭圆方程中,得
两式相减得
, …………………7分
,
直线
的斜率
, …………………8分
由,
,解得
,或
(舍)
由题设,
,………………10分
即. …………………12分
知识点
14.如图所示,为双曲线
的左焦点,双曲线
上的点
与
关于
轴对称,则
的值是 .
正确答案
48
解析
设右焦点为,则
,所以
==6a=48
知识点
10.已知双曲线﹣
=1(a>0,b>0)的一条渐近线垂直于直线l:x﹣2y﹣5=0,双曲线的一个焦点在l上,则双曲线的方程为()
正确答案
=1.
解析
∵双曲线的一个焦点在直线l上,
令y=0,可得x=5,即焦点坐标为(5,0),∴c=5,
∵双曲线﹣
=1(a>0,b>0)的一条渐近线垂直于直线l:x﹣2y﹣5=0,
∴=2,∵c2=a2+b2,∴a2=5,b2=20,
∴双曲线的方程为=1.故答案为:
=1.
知识点
设F1、F2是双曲线的两焦点,点P在双曲线上,若点P到焦点F1的距离等于9,则点P到焦点F2的距离等于 。
正确答案
1或17
解析
由双曲线的定义知:,即点P到焦点F2的距离等于1或17。
知识点
已知圆锥曲线的两个焦点坐标是
,且离心率为
;
(1)求曲线的方程;
(2)设曲线表示曲线
的
轴左边部分,若直线
与曲线
相交于
两点,求
的取值范围;
(3)在条件(2)下,如果,且曲线
上存在点
,使
,求
的值。
正确答案
(1)
(2)
(3)m=4
解析
(1)由知,曲线
是以
为焦点的双曲线,且
,
故双曲线的方程是
,
(2)设,联立方程组:
,
从而有:为所求。
(3)因为,
整理得或
,
注意到,所以
,故直线
的方程为
。
设,由已知
,
又,所以
。
在曲线
上,得
,
但当时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意,
所以为所求。
知识点
已知双曲线kx2-y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直,那么双曲线的离心率为_________。
正确答案
解析
设双曲线为
,它的一条渐近线方程为
直线2x+y+1=0的斜率为-2
∵直线与直线2x+y+1=0垂直,
∴ 即a=2
∴
知识点
7.已知双曲线﹣
=1(a>0)的离心率为2,则a=( )
正确答案
解析
双曲线的离心率e=
=2,解答a=1,故选D。
知识点
9.已知F1,F2是双曲线的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( )
正确答案
解析
依题意可知双曲线的焦点为F1(﹣c,0),F2(c,0)
∴F1F2=2c∴三角形高是cM(0,
c)所以中点N(﹣
,
c)
代入双曲线方程得:=1整理得:b2c2﹣3a2c2=4a2b2∵b2=c2﹣a2
所以c4﹣a2c2﹣3a2c2=4a2c2﹣4a4整理得e4﹣8e2+4=0求得e2=4±2∵e>1,
∴e=+1故选D。
知识点
13.若双曲线E的标准方程是,则双曲线E的渐进线的方程是 .
正确答案
y=x
解析
双曲线E的标准方程是,
则a=2,b=1,
即有渐近线方程为y=x,
即为y=x.
故答案为:y=x.
知识点
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