向量在几何中的应用
共120题

· 向量在几何中的应用

向量在几何中的应用
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题型：单选题

单选题 · 5 分

在四边形中，，则该四边形的面积为（）

D10

正确答案

解析

本题考查的是向量垂直的判断以及向量的模长，因为，所以，所以四边形的面积为，故选C

知识点

向量在几何中的应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知点A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)，若平面区域D由所有满足＝λ＋μ(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成，则D的面积为__________。

正确答案

解析

＝λ＋μ，＝(2,1)，＝(1,2)。

设P(x，y)，则＝(x－1，y＋1)。

∴得

∵1≤λ≤2,0≤μ≤1，

可得如图。

可得A1(3,0)，B1(4,2)，C1(6,3)，

|A1B1|＝，

两直线距离，

∴S＝|A1B1|·d＝3.

知识点

平面向量的基本定理及其意义向量在几何中的应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

若向量=（1，﹣3），||=||，•=0，则||=　。

正确答案

解析

设=（x，y），∵向量=（1，﹣3），||=||，•=0，

∴，解得或。

∴=（3，1），（﹣3，﹣1）。

∴==（2，4）或（﹣4，2）。

∴=

知识点

向量的模平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（　　）

正确答案

解析

∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，

两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知为坐标原点，为椭圆：在轴正半轴上的焦点，过且斜率为的直线与交与、两点，点满足.

（1）证明：点在上；

（2）设点关于点的对称点为，证明：、、、四点在同一圆上。

正确答案

见解析。

解析

（1）,的方程为,代入并化简得

设,

则

由题意得

所以点的坐标为.

经验证点的坐标满足方程,故点在椭圆上 …6分

（2）由和题设知，，的垂直平分线的方程为

. ①

设的中点为,则,的垂直平分线的方程为

. ②

由①、②得、的交点为.

故 ,

又 , ,

所以 ,

由此知、、、四点在以为圆心,为半径的圆上.

（2）法二：

同理

所以互补，

因此A、P、B、Q四点在同一圆上。

知识点

向量在几何中的应用直线与圆锥曲线的综合问题

题型：简答题

简答题 · 15 分

已知的三个顶点在抛物线C：上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，；

（1）若，求点M的坐标；

（2）求面积的最大值。

正确答案

（1）或（2）

解析

（1）解：由题意知焦点，准线方程为

设，由抛物线定义知，得到，所以

或

由，分别得

或

（2）解：设直线的方程为，点

由得

于是

所以中点的坐标为

由，得

所以由得

由得

又因为

点到直线的距离为

所以

记

令，解得

可得在上是增函数，在上时减函数，在上是增函数，

又

所以，当时，取到最大值，此时

所以，面积的最大值为

知识点

向量在几何中的应用直线与圆锥曲线的综合问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

中，边的高为，若，，，，，则

正确答案

解析

由可得，故，用等面积法求得，所以，故，故选答案D

知识点

向量在几何中的应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知向量已知向量. 若向量的夹角为，则实数

正确答案

解析

知识点

平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角向量在几何中的应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

在平面直角坐标系中，已知，，若，则实数的值为______

正确答案

解析

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则＝__________.

正确答案

解析

以为基底，则，

而，，

∴.

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

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