圆锥曲线中的探索性问题
共34题

· 圆锥曲线中的探索性问题

圆锥曲线中的探索性问题
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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3。

(1)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆C上的动点P引圆O：x2+y2=b2的两条切线PA、PB，A、B分别为切点，试探究椭圆C上是否存在点P，由点P向圆O所

引的两条切线互相垂直？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

(1)设椭圆的半焦距为c，依题意

∴b=2，

∴所求椭圆方程为

(2)如图，设P点坐标为(x0，y0)，

若∠APB=900，则有

即

有

两边平方得 ……①

又因为P(x0，y0)在椭圆上，所以 ……②

①，②联立解得，

所以满足条件的有以下四组解

，，，

所以，椭圆C上存在四个点，，，，分别由这四个点向圆O所引的两条切线均互相垂直。

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的探索性问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆（）的焦点坐标为，离心率为，直线交椭圆于，两点。

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在实数，使得以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）由，，得，，

所以椭圆方程是： ……………………4分

（2）设，则，

将代入，整理得（*）

则 ………………………7分

以PQ为直径的圆过，则，即

， ………………………………12分

解得，此时（*）方程，

所以存在，使得以为直径的圆过点， ……14分

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知双曲线与抛物线的一个交点为，为抛物线的焦点，若，则双曲线的渐近线方程为（）

正确答案

解析

略

知识点

圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

某海域有、两个岛屿，岛在岛正东4海里处。经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线，曾有渔船在距岛、岛距离和为8海里处发现过鱼群。以、所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系。

（1）求曲线的标准方程；

（2）某日，研究人员在、两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），、两岛收到鱼群在处反射信号的时间比为，问你能否确定处的位置（即点的坐标）？

正确答案

（1）（2）点的坐标为或

解析

解析：（1）由题意知曲线是以、为焦点且长轴长为8的椭圆 3分

又，则，故 5分

所以曲线的方程是 6分

（2）由于、两岛收到鱼群发射信号的时间比为，

因此设此时距、两岛的距离分别比为 7分

即鱼群分别距、两岛的距离为5海里和3海里。 8分

设，，由， 10分

， 12分

13分

点的坐标为或

知识点

圆锥曲线中的探索性问题

题型：简答题

简答题 · 16 分

已知椭圆C：的离心率，一条准线方程为。

（1）求椭圆C的方程；

（2）设G，H为椭圆上的两个动点，O为坐标原点，且OG⊥OH。

①当直线OG的倾斜角为60°时，求△GOH的面积；

②是否存在以原点O为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）因为椭圆的离心率，一条准线方程为。

所以，，a2=b2+c2，

解得，

所以椭圆方程为，

（2）①由，解得，

由得，

所以，所以，

②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则OG•OH=R•GH

因为OG2+OH2=GH2，故，

当OG与OH的斜率均存在时，不妨设直线OG方程为：y=kx，与椭圆方程联立，可得，

∴

同理可得

∴，∴R=

当OG与OH的斜率有一个不存在时，可得

故满足条件的定圆方程为x2+y2=。

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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