- 圆锥曲线中的探索性问题
- 共34题
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”。
如图,“盾圆”是由椭圆
与抛物线
中两段曲线弧合成,
为椭圆的左、右焦点,
,
为椭圆与抛物线的一个公共点,
。
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在过的一条直线
,与“盾圆
”依次交于
四点,使得
与
的面积比为
?若存在,求出直线
方程;若不存在,说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)由的准线为
,
,故记
又,所以
,故椭圆为
, 4分
(2) 设直线为
,
联立,得
,则
①
联立,得
,则
②
8分
与
的面积比
整理得 12分
若, 由②知
坐标为
,不在“盾圆
”上;
同理也不满足,故符合题意的直线
不存在, 14分
知识点
已知直角坐标平面内一动点到点
的距离与直线
的距离相等。
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)过点(
)作斜率为
的直线与曲线
相交于
两点,若
为钝角,求实数
的取值范围;
(3)过点(
)作直线与曲线
相交于
两点,问:是否存在一条垂直于
轴的直线与以线段
为直径的圆始终相切?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)由抛物线的定义,知所求P点的轨迹是以为焦点,直线
为准线的抛物线,其方程为
,其中
,
。
所以,动点P的轨迹C的方程为,………………………………………4分
(2)由题意知,直线AB的方程为。
代入,得
。
设,则
。
为钝角,
。
又,
,
。
即,
。
因此,
。
综上,实数的取值范围是
,…………………8分
(3)设过点的直线方程为
,代入
,得
,设
,则
,
。
于是。
的中点坐标为
。
又
。
设存在直线满足条件,则
。
化简,得。
所以,对任意的
恒成立,
所以解得
,
。
所以,当时,存在直线
与以线段
为直径的圆始终相切,……13分
知识点
已知椭圆:
(
)的右焦点
,右顶点
,且
。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若动直线:
与椭圆
有且只有一个交点
,且与直线
交于点
,问:是否存在一个定点
,使得
.若存在,求出点
坐标;若不存在,说明理由.
正确答案
见解析
解析
由,
,
椭圆C的标准方程为
.
得:
,
.
,
,即P
.
M
.
又Q,
,
,
+
=
恒成立,故
,即
.
存在点M(1,0)适合题意.
知识点
20.已知椭圆的中心在原点,焦点在
轴上,它的一个顶点恰好经过抛物线
的准线,且经过点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线的方程为
.
是经过椭圆左焦点
的任一弦,设直线
与直线
相交于点
,记
的斜率分别为
.试探索
之间有怎样的关系式?给出证明过程.
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
20.如图,设点、
分别是椭圆
的左、右焦点,
为椭圆
上位于
轴上方的任意一点,且
的面积最大值为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线,若
、
均与椭圆
相切,证明:
;
(3)在(2)的条件下,试探究在轴上是否存在定点
,点
到
的距离之积恒为1?若存在,请求出点
坐标;若不存在,请说明理由.
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
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