热门试卷

由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，得f′(x)＝x(2＋cos x)。

（1）因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，

所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)，解得a＝0，b＝f(0)＝1.

（2）令f′(x)＝0，得x＝0.

f(x)与f′(x)的情况如下：

所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值。

当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点；

当b＞1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1＞4b－2b－1＞b，

f(0)＝1＜b，

所以存在x1∈(－2b,0)，x2∈(0,2b)，使得f(x1)＝f(x2)＝b.

由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b＞1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点。

综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)。

（1）解：由题意可知，抛物线C1的准线方程为：

所以圆心M到抛物线C1准线的距离为

（2）解：设点P的坐标为（x0, x02），抛物线C1在点P处的切线交直线l于点D。

再设A,B,D的横坐标分别为

过点P（x0, x02）的抛物线C1的切线方程为：

                （1）

当时，过点P（1,1）与圆C2的切线PA为：。

可得。所以。

设切线PA.PB的斜率为，则

                （2）

                （3）

将分别代入（1），（2），（3），得

从而

又，

即

同理

所以是方程的两个不相等的根，从而

，

因为，

所以即。

从而

进而得

综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为

（1）f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.

由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.

故b＝4，a＋b＝8.

从而a＝4，b＝4.

（2）由（1）知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，

f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)·.

令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.

从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；

当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.

故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减。

当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)。

(1)当a＝1时，f′(x)＝6x2－12x＋6，

所以f′(2)＝6.

又因为f(2)＝4，所以切线方程为y＝6x－8.

(2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值。

f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)。

令f′(x)＝0，得到x1＝1，x2＝a.

当a＞1时，

比较f(0)＝0和f(a)＝a2(3－a)的大小可得g(a)＝

当a＜－1时，

得g(a)＝3a－1.

综上所述，f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值为g(a)＝