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题型:简答题
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简答题 · 13 分

设函数f(x)=axn(1-x)+b(x>0),n为正整数,a,b为常数,曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x+y=1.

(1)求a,b的值;

(2)求函数f(x)的最大值;

(3)证明:.

正确答案

见解析

解析

(1)因为f(1)=b,由点(1,b)在x+y=1上,可得1+b=1,即b=0.

因为f′(x)=anxn-1-a(n+1)xn,所以f′(1)=-a.

又因为切线x+y=1的斜率为-1,所以-a=-1,即a=1.故a=1,b=0.

(2)由(1)知,f(x)=xn(1-x)=xn-xn+1,f′(x)=(n+1)·xn-1

令f′(x)=0,解得,即f′(x)在(0,+∞)上有唯一零点.

在(0,)上,f′(x)>0,故f(x)单调递增;

而在(,+∞)上,f′(x)<0,f(x)单调递减。

故f(x)在(0,+∞)上的最大值为.

(3)令φ(t)=ln t-1+(t>0),

(t>0)。

在(0,1)上,φ′(t)<0,

故φ(t)单调递减;

而在(1,+∞)上,φ′(t)>0,

故φ(t)单调递增,

故φ(t)在(0,+∞)上的最小值为φ(1)=0,

所以φ(t)>0(t>1),

即ln t>1-(t>1)。

令t=1+,得

所以,即.

由(2)知,

故所证不等式成立。

知识点

导数的几何意义利用导数求函数的最值利用导数证明不等式
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为(  )

A1

B3

C-4

D-8

正确答案

C

解析

如图所示,由已知可设

P(4,y1),Q(-2,y2),

∵点P,Q在抛物线x2=2y上,

∴P(4,8),Q(-2,2),又∵抛物线可化为,∴y′=x,

∴过点P的切线斜率为

∴过点P的切线为y-8=4(x-4),即

y=4x-8。

又∵过点Q的切线斜率为

∴过点Q的切线为y-2=-2(x+2),即y=-2x-2。

联立解得x=1,y=-4,

∴点A的纵坐标为-4

知识点

导数的几何意义抛物线的标准方程和几何性质
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数为自然对数的底数)。

(1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;

(2)求函数的极值;

(3)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值。

正确答案

见解析

解析

本小题主要考查函数与导数,函数的单调性、极值、零点等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想,满分14分。

(1)由,得

又曲线在点处的切线平行于轴,

,即,解得

(2)

①当时,上的增函数,所以函数无极值。

②当时,令,得

所以上单调递减,在上单调递增,

处取得极小值,且极小值为,无极大值。

综上,当时,函数无极小值;

处取得极小值,无极大值。

(3)当时,

则直线与曲线没有公共点,

等价于方程上没有实数解。

假设,此时

又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知上至少有一解,与“方程上没有实数解”矛盾,故

时,,知方程上没有实数解。

所以的最大值为

解法二:

(1)(2)同解法一。

(3)当时,

直线与曲线没有公共点,

等价于关于的方程上没有实数解,即关于的方程:

                           (*

上没有实数解。

①当时,方程(*)可化为,在上没有实数解。

②当时,方程(*)化为

,则有

,得

变化时,的变化情况如下表:

时,,同时当趋于时,趋于

从而的取值范围为

所以当时,方程(*)无实数解,

解得的取值范围是

综上,得的最大值为

知识点

导数的几何意义利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值
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题型:简答题
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简答题 · 16 分

若函数处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点。

已知是实数,1和是函数的两个极值点。

(1)求的值;

(2)设函数的导函数,求的极值点;

(3)设,其中,求函数的零点个数。

正确答案

(1);(2)-2;(3)9

解析

(1)由,得

∵1和是函数的两个极值点,

,解得

(2)∵ 由(1)得, ,

,解得

∵当时,;当时,

的极值点。

∵当时,,∴ 不是的极值点。

的极值点是-2。

(3)令,则

先讨论关于 的方程 根的情况:

时,由(2 )可知,的两个不同的根为I 和一2 ,注意到是奇函数,∴的两个不同的根为一和2。

时,∵ ,

∴一2 , -1,1 ,2 都不是的根。

由(1)知

① 当时, ,于是是单调增函数,从而

此时无实根。

② 当时。,于是是单调增函数。

又∵的图象不间断,

 在(1 , 2 )内有唯一实根。

同理,在(一2 ,一I )内有唯一实根。

③ 当时,,于是是单调减两数。

又∵的图象不间断,

在(一1,1 )内有唯一实根。

因此,当时,有两个不同的根满足;当 时

有三个不同的根,满足

现考虑函数的零点:

( i )当时,有两个根,满足

有三个不同的根,有两个不同的根,故有5 个零点。

( 11 )当时,有三个不同的根,满足

有三个不同的根,故有9 个零点。

综上所述,当时,函数有5 个零点;当时,函数有9 个零点。

知识点

导数的几何意义
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.

(1)若对一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;[z

(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,证明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.

正确答案

见解析

解析

解:.

单调递减;当单调递增,故当时,取最小值

于是对一切恒成立,当且仅当

.                  ①

时,单调递增;当时,单调递减.

故当时,取最大值.因此,当且仅当时,①式成立.

综上所述,的取值集合为.

(2)由题意知,

,则.

时,单调递减;当时,单调递增.

故当

从而

所以

因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在

使成立.

知识点

导数的几何意义
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