热门试卷

（1）

由知，            ①

由知a=2c，          ②

又  ，                       ③

由①②③解得，

故椭圆C的方程为

（2）

设A，B两点的坐标分别为，

假设使成立的直线存在，

（ⅰ）当不垂直于x轴时，设的方程为，

由与垂直相交于P点且||=1得

，即

∵，||=1，

∴

=

= 1+0+0-1=0,

即

将代入椭圆方程，得

由求根公式可得，                ④

                   ⑤

=

=

将④，⑤代入上式并化简得

        ⑥

将代入⑥并化简得，矛盾

即此时直线不存在

（ⅱ）当垂直于x轴时，满足的直线的方程为x=1或x=-1，

当X=1时，A,B,P的坐标分别为，

∴，

∴

当x=-1时，同理可得，矛盾

即此时直线也不存在

综上可知，使成立的直线不存在

依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为

C1：，C2：.

其中a＞m＞n＞0，λ＝.

（1）解法1：

如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x＝0，则S1＝|BD|·|OM|＝a|BD|，S2＝|AB|·|ON|＝a|AB|，

所以.

在C1和C2的方程中分别令x＝0，可得yA＝m，yB＝n，yD＝－m，

于是.

若，则，化简得λ2－2λ－1＝0.

由λ＞1，可解得λ＝.

故当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，则λ＝.

解法2：如图1，若直线l与y轴重合，则

|BD|＝|OB|＋|OD|＝m＋n，|AB|＝|OA|－|OB|＝m－n；

S1＝|BD|·|OM|＝a|BD|，

S2＝|AB|·|ON|＝a|AB|。

所以.

若，则，化简得λ2－2λ－1＝0.

由λ＞1，可解得λ＝.

故当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，则λ＝.

（2）解法1：

如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2.根据对称性，不妨设直线l：y＝kx（k＞0），点M（－a,0），N（a,0）到直线l的距离分别为d1，d2，则，，所以d1＝d2.

又S1＝|BD|d1，S2＝|AB|d2，所以，即|BD|＝λ|AB|。

由对称性可知|AB|＝|CD|，所以|BC|＝|BD|－|AB|＝（λ－1）|AB|，

|AD|＝|BD|＋|AB|＝（λ＋1）|AB|，于是

.①

将l的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得

，.

根据对称性可知xC＝－xB，xD＝－xA，于是

＝.②

从而由①和②式可得

.③

令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可解得.

因为k≠0，所以k2＞0.于是③式关于k有解，当且仅当，

等价于由λ＞1，可解得＜t＜1，

即，由λ＞1，解得λ＞，所以

当1＜λ≤时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2；

当λ＞时，存在与坐标轴不重合的直线l使得S1＝λS2.

解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2.根据对称性，不妨设直线l：y＝kx（k＞0），

点M（－a,0），N（a,0）到直线l的距离分别为d1，d2，

则，，所以d1＝d2.

又S1＝|BD|d1，S2＝|AB|d2，所以.

因为，所以.

由点A（xA，kxA），B（xB，kxB）分别在C1，C2上，可得，，两式相减可得，

依题意xA＞xB＞0，所以.所以由上式解得.

因为k2＞0，所以由，可解得.

从而，解得λ＞，所以

当1＜λ≤时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2；

当λ＞时，存在与坐标轴不重合的直线l使得S1＝λS2.

（1）∵当x∈（0，）时，f′（x）=﹣（1+sinx）（π+2x）﹣2x﹣cosx＜0，

∴函数f（x）在（0，）上为减函数，

又f（0）=π﹣＞0，f（）=﹣π2﹣＜0；

∴存在唯一的x0∈（0，），使f（x0）=0；

（2）考虑函数h（x）=﹣4ln（3﹣x），x∈[，π]，

令t=π﹣x，则x∈[，π]时，t∈[0，]，

记u（t）=h（π﹣t）=﹣4ln（1+t），

则u′（t）=，

由（1）得，当t∈（0，x0）时，u′（t）＜0；

在（0，x0）上u（x）是增函数，又u（0）=0，∴当t∈（，x0]时，u（t）＞0，

∴u（t）在（0，x0]上无零点；

在（x0，）上u（t）是减函数，由u（x0）＞0，u（）=﹣4ln2＜0，

∴存在唯一的t1∈（x0，），使u（t1）=0；

∴存在唯一的t1∈（0，），使u（t1）=0；

∴存在唯一的x1=π﹣t1∈（，π），使h（x1）=h（π﹣t1）=u（t1）=0；

∵当x∈（，π）时，1+sinx＞0，∴g（x）=（1+sinx）h（x）与h（x）有相同的零点，

∴存在唯一的x1∈（，π），使g（x1）=0，

∵x1=π﹣t1，t1＞x0，∴x0+x1＜π。

（1）依题意,所以,

设是椭圆上任意一点,则,所以,

所以

当时,有最大值,可得,所以

故椭圆的方程为.

（2）[韦达定理法]因为在椭圆上,所以,,设,

由，得

所以,可得，

由韦达定理得,

所以

所以

设原点到直线的距离为,则

所以

设,由,得,所以,

,

所以,当时,面积最大,且最大为,

此时，点的坐标为或或或.

[垂径定理切入]因为点在椭圆上运动，所以,,

圆心到直线的距离,

直线被圆所截的弦长为

所以,接下来做法同上。