热门试卷

（1）∵当x∈（0，）时，f′（x）=﹣（1+sinx）（π+2x）﹣2x﹣cosx＜0，

∴函数f（x）在（0，）上为减函数，

又f（0）=π﹣＞0，f（）=﹣π2﹣＜0；

∴存在唯一的x0∈（0，），使f（x0）=0；

（2）考虑函数h（x）=﹣4ln（3﹣x），x∈[，π]，

令t=π﹣x，则x∈[，π]时，t∈[0，]，

记u（t）=h（π﹣t）=﹣4ln（1+t），

则u′（t）=，

由（1）得，当t∈（0，x0）时，u′（t）＜0；

在（0，x0）上u（x）是增函数，又u（0）=0，∴当t∈（，x0]时，u（t）＞0，

∴u（t）在（0，x0]上无零点；

在（x0，）上u（t）是减函数，由u（x0）＞0，u（）=﹣4ln2＜0，

∴存在唯一的t1∈（x0，），使u（t1）=0；

∴存在唯一的t1∈（0，），使u（t1）=0；

∴存在唯一的x1=π﹣t1∈（，π），使h（x1）=h（π﹣t1）=u（t1）=0；

∵当x∈（，π）时，1+sinx＞0，∴g（x）=（1+sinx）h（x）与h（x）有相同的零点，

∴存在唯一的x1∈（，π），使g（x1）=0，

∵x1=π﹣t1，t1＞x0，∴x0+x1＜π。