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题型: 单选题
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单选题 · 5       分

是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为(       )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

是底角为的等腰三角形

知识点

椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

如图,椭圆的顶点为,焦点为 

(1)求椭圆C的方程;

(2)设n是过原点的直线,是与n垂直相交于F点、与椭圆相交于A,B亮点的直线,||=1,是否存在上述直线使成立?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

(1)

,            ①

知a=2c,          ②

又  ,                       ③

由①②③解得

故椭圆C的方程为

(2)

设A,B两点的坐标分别为

假设使成立的直线存在,

(ⅰ)当不垂直于x轴时,设的方程为

垂直相交于P点且||=1得

,即

,||=1,

=

= 1+0+0-1=0,

代入椭圆方程,得

由求根公式可得,                ④

                   ⑤

=

=

将④,⑤代入上式并化简得

        ⑥

代入⑥并化简得,矛盾

即此时直线不存在

(ⅱ)当垂直于x轴时,满足的直线的方程为x=1或x=-1,

当X=1时,A,B,P的坐标分别为

当x=-1时,同理可得,矛盾

即此时直线也不存在

综上可知,使成立的直线不存在

知识点

直线与椭圆的位置关系
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

如图,已知椭圆的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别

,过原点且不与轴重合的直线的四个交点按纵坐标从

大到小依次为A,B,C,D,记,△和△的面积分别为.

(1)当直线轴重合时,若,求的值;

(2)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得?并说明理由。

正确答案

(1);(2)当1<λ≤时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2;当λ>时,存在与坐标轴不重合的直线l使得S1=λS2.

解析

依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为

C1,C2.

其中a>m>n>0,λ=.

(1)解法1:

如图1,若直线l与y轴重合,即直线l的方程为x=0,则S1|BD|·|OM|=a|BD|,S2|AB|·|ON|=a|AB|,

所以.

在C1和C2的方程中分别令x=0,可得yA=m,yB=n,yD=-m,

于是.

,则,化简得λ2-2λ-1=0.

由λ>1,可解得λ=.

故当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,则λ=.

解法2:如图1,若直线l与y轴重合,则

|BD|=|OB|+|OD|=m+n,|AB|=|OA|-|OB|=m-n;

S1|BD|·|OM|=a|BD|,

S2|AB|·|ON|=a|AB|。

所以.

,则,化简得λ2-2λ-1=0.

由λ>1,可解得λ=.

故当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,则λ=.

(2)解法1:

如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0),点M(-a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2,则,所以d1=d2.

又S1|BD|d1,S2|AB|d2,所以,即|BD|=λ|AB|。

由对称性可知|AB|=|CD|,所以|BC|=|BD|-|AB|=(λ-1)|AB|,

|AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|,于是

.①

将l的方程分别与C1,C2的方程联立,可求得

.

根据对称性可知xC=-xB,xD=-xA,于是

.②

从而由①和②式可得

.③

,则由m>n,可得t≠1,于是由③可解得.

因为k≠0,所以k2>0.于是③式关于k有解,当且仅当

等价于由λ>1,可解得<t<1,

,由λ>1,解得λ>,所以

当1<λ≤时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2

当λ>时,存在与坐标轴不重合的直线l使得S1=λS2.

解法2:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0),

点M(-a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2

,所以d1=d2.

又S1|BD|d1,S2|AB|d2,所以.

因为,所以.

由点A(xA,kxA),B(xB,kxB)分别在C1,C2上,可得,两式相减可得

依题意xA>xB>0,所以.所以由上式解得.

因为k2>0,所以由,可解得.

从而,解得λ>,所以

当1<λ≤时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2

当λ>时,存在与坐标轴不重合的直线l使得S1=λS2.

知识点

一元二次不等式的解法点到直线的距离公式椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

在直角坐标系xOy中,已知曲线(t为参数)与曲线为参数,)有一个公共点在轴上,则()。

正确答案

解析

曲线直角坐标方程为,与轴交点为

曲线 :直角坐标方程为,其与轴交点为

,曲线与曲线有一个公共点在X轴上,知

知识点

直线与椭圆的位置关系直线的参数方程椭圆的参数方程
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率,且椭圆上的点到点的距离的最大值为

(1)求椭圆的方程

(2) 在椭圆上,是否存在点,使得直线与圆相交于不同的两点,且的面积最大?若存在,求出点的坐标及对应的的面积;若不存在,请说明理由。

正确答案

(1)   的方程为.

(2) 存在,面积最大为,点的坐标为.

解析

(1)依题意,所以,

是椭圆上任意一点,则,所以,

所以

时,有最大值,可得,所以

故椭圆的方程为.

(2)[韦达定理法]因为在椭圆上,所以,,设,

,得

所以,可得

由韦达定理得,

所以

所以

设原点到直线的距离为,则

所以

,由,得,所以,

,

所以,当时,面积最大,且最大为,

此时,点的坐标为.

[垂径定理切入]因为点在椭圆上运动,所以,,

圆心到直线的距离,

直线被圆所截的弦长为

所以,接下来做法同上。

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系圆锥曲线中的探索性问题
下一知识点 : 直线与双曲线的位置关系
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