直线与椭圆的位置关系
共59题

· 直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系
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题型：简答题

简答题 · 12 分

20．已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2，离心率为，点M在椭圆上，且满足MF2⊥x轴， .

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线y=kx+2交椭圆于A,B两点，求△ABO（O为坐标原点）面积的最大值.

正确答案

（Ⅰ）

（Ⅱ）

解析

(I)由已知得，又由，可得，，

得椭圆方程为，因为点在第一象限且轴，可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为

(II)设将代入椭圆，可得

由，可得，则有

所以因为直线与轴交点的坐标为

所以的面积

令 , 由①知

所以时，面积最大为.

考查方向

椭圆的方程、几何性质和直线与椭圆的位置关系中的面积问题

解题思路

本题考查了椭圆的方程、几何性质和直线与椭圆的位置关系中的面积问题，其中面积是本题解得的难点，解答时应结合图形的特征把的面积分解为两个同底的三角形，两个三角形的底边都是，高的和为，这是本题韦达定理应用的技巧所在，最好通过对面积的函数关系变形，在形式上达到积为定值的目的，通过基本不等式求出面积的最大值.

易错点

本题中主要是在求点坐标时易错，在联立方程用韦达定理时运算量大易错。

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与椭圆的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

11．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为

B2－

C－2

D－

正确答案

解析

设F1A=x, F2A=y,由题可知，x+y=2a,x2+y2=4c2,2x+√2x=4a，联立方程组，代换得

a2（9-6√2）=c2,即e=－。A选项不正确，B选项不正确，C选项不正确，所以选D选项。

考查方向

本题主要考查直线与椭圆的位置关系

解题思路

1、用a,c表示出F1A,F2A；

2、将所求式子联立，即可得到结果。A选项不正确，B选项不正确，C选项不正确，所以选D选项。

易错点

本题易在表示a, c关系时发生错误。

知识点

椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系

题型：单选题

单选题 · 5 分

4.已知椭圆上有且仅有一个点到直线的距离为1，则实数a的取值情况为

正确答案

解析

因为与直线平行且距离为1的直线为3x -4y-20=0，得到圆点（0，0）到直线3x-4y-20=0的距离为4，所以-a=4,a=-4,所以选B

考查方向

本题主要考查点到直线的距离，这类试题常和圆锥曲线相关知识一起考查。

解题思路

数形结合，先画出椭圆的大致形状和直线的位置，有且仅有一点的距离为1，找到一条直线与这个椭圆相切的直线。带入方程即可。

易错点

椭圆方程的各种形式的转化，点到直线的距离公式理解不透彻

知识点

两条平行直线间的距离直线与椭圆的位置关系

题型：简答题

简答题 · 14 分

（14分）（2015•上海）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S．

（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；

（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．

正确答案

解：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d==，

因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；

（2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣，

设直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，

根据对称性，设x1=，则y1=，

同理可得x2=，y2=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．

方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=﹣，

所以x1x2=﹣2y1y2，

∴=4=﹣2x1x2y1y2，

∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，

∴（）（）=+4+2（+）=1，

即﹣4x1x2y1y2+2（+）=1，

所以（x1y2﹣x2y1）2=，即|x1y2﹣x2y1|=，

所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．

知识点

椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系

题型：简答题

简答题 · 16 分

已知椭圆上两个不同的点A,B关于直线对称．

（1）若已知，为椭圆上动点，证明：；

（2）求实数的取值范围；

（3）求面积的最大值（为坐标原点）．

正确答案

（1）设则,

于是=

因，

所以，当时，.即

（2）由题意知，可设直线的方程为.

由消去，得.

因为直线与椭圆有两个不同的交点，

所以,，即

①将中点代入直线方程解得

②由①②得或（3）令，即，

则

且到直线的距离为设的面积为，

所以

当且仅当时，等号成立.

故面积的最大值为.

解析

本题属于解析几何的综合应用题，题目的难度是偏难，本题的关键是：

（1）、利用两点间的距离公式和点在曲线上的定义求出线段的范围；

（2）、利用设而不求法和中点坐标公式，求出m，b之间的关系，从而求出m的取值范围；

（3）、利用三角形面积公式和点到直线的距离公式，求出面积的表达式

考查方向

本题考查了椭圆与直线的位置关系、函数的取值范围问题的综合应用

易错点

1、,的讨论，求出2、利用因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以很容易忘记

知识点

椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题

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