热门试卷

（1）当即时，轨迹是以、为焦点的椭圆               

当时，轨迹是线段

当时，轨迹不存在

（2）以线段的中点为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，

可得轨迹的方程为

①解法1：设表示点到线段的距离

，

要使的面积有最大值，只要有最大值

当点与椭圆的上顶点重合时，

的最大值为

解法2：在椭圆中，设，记

点在椭圆上，由椭圆的定义得：

在中，由余弦定理得：

配方，得：

从而

得

根据椭圆的对称性，当最大时，最大

当点与椭圆的上顶点重合时，

最大值为

②结论：当时，显然存在除、外的两点、关于直线对称

下证当与不垂直时，不存在除、外的两点、关于直线对称

证法1：假设存在这样的两个不同的点

设线段的中点为   直线

由于在上，故        ①

又在椭圆上，所以有

两式相减，得

将该式写为，

并将直线的斜率和线段的中点，表示代入该表达式中，

得     ②

①、②得，由（1）代入

得

即的中点为点，而这是不可能的.

此时不存在满足题设条件的点和.

证法2：假设存在这样的两个不同的点

，

则，故直线经过原点。

直线的斜率为，则假设不成立，

故此时椭圆上不存在两点（除了点、点外）关于直线对称

（1）因为………………………………………… 2分

所以

因此. ………………………………………………………………… 4分

（2）由（1）知，

.………………………………………………………… 6分

当时，;

当时，.

所以的单调增区间是;

的单调减区间是.……………………………………………………… 9分

（3）由（2）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，.……………………………………………… 10分

所以的极大值为，极小值为.……………12分

所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当.

因此，的取值范围为.……………………………………… 14分

（1） 函数的定义域是.

由已知得，

当时, , 显然函数在上单调递增；

当时, ，令,解得或;

函数在和上单调递增，

综上所述:①当时,函数在上单调递增；

②当时,函数在和上单调递增；

(2)假设函数存在“中值相依切线”

设是曲线上的不同两点，且，

则，

曲线在点处的切线斜率

依题意得：

化简可得： ， 即=

设 ()，上式化为：,

.   令,

.

因为,显然，所以在上递增,

显然有恒成立.   所以在内不存在,使得成立。

综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”