热门试卷

（1）点P的坐标满足条件：1≤b＝a-3≤n-3，所以An＝n-3.

（2）设k为正整数，记fn(k)为满足题设条件以及a-b＝3k的点P的个数.只要讨论fn(k)≥1的情形。

由1≤b＝a-3k≤n-3k知fn(k)＝n-3k，且k≤.

设n-1＝3m+r，其中m∈N*，r∈{0,1,2}，则k≤m.

所以＝＝＝.

将m＝代入上式，化简得Bn＝.

所以Bn＝

（1）由题意可知，，，，

∴

（2）先用反证法证明：

若

则，∴

同理可知，∴

由题目所有数和为

即

∴

与题目条件矛盾

∴。

易知当时，存在

∴的最大值为1

（3）的最大值为.

首先构造满足的：

，

.

经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且

，

，

.

下面证明是最大值. 若不然，则存在一个数表，使得.

由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于.

设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则. 另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负.

考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过）. 因此

，

故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾. 因此的最大值为。

设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm).由已知得a＝x，h＝＝ (30-x)，0<x<30.

（1）S＝4ah＝8x(30-x)＝-8(x-15)2+1 800，所以当x＝15时，S取得最大值。

（2）V＝a2h＝2(-x3+30x2)，V′＝6x(20-x)。

由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.

当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0.

所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值。

此时＝.即包装盒的高与底面边长的比值为.