热门试卷

（1）由题意可知，，，，

∴

（2）先用反证法证明：

若

则，∴

同理可知，∴

由题目所有数和为

即

∴

与题目条件矛盾

∴。

易知当时，存在

∴的最大值为1

（3）的最大值为.

首先构造满足的：

，

.

经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且

，

，

.

下面证明是最大值. 若不然，则存在一个数表，使得.

由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于.

设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则. 另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负.

考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过）. 因此

，

故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾. 因此的最大值为。