- 正弦定理的应用
- 共22题
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且。
(I)证明:sinAsinB=sinC;
(II)若,求tanB。
正确答案
(Ⅰ)根据正弦定理,可设
则a=ksin A,b=ksin B,c=ksinC.
代入中,有
,可变形得
sin A sin B=sin Acos B=sin (A+B).
在△ABC中,由A+B+C=π,有sin (A+B)=sin (π–C)=sin C,
所以sin A sin B=sin C.
(Ⅱ)由已知,b2+c2–a2=bc,根据余弦定理,有
.
所以sin A=.
由(Ⅰ),sin Asin B=sin Acos B +cos Asin B,
所以sin B=
cos B+
sin B,
故tan B==4.
知识点
9.在△ABC中 ,B= ()
正确答案
知识点
15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,
,a=1,则b=____________.
正确答案
知识点
18.
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且。
(I)证明:sinAsinB=sinC;
(II)若,求tanB。
正确答案
知识点
已知函数.
17.当时,求
的值域;
18.若的内角
的对边分别为
且
,求
的值.
正确答案
(1);
解析
(1)
,∴
,∴
...6分
考查方向
解题思路
1。第(1)问先化简函数为一个角的一个三角函数,然后求其值域;
易错点
1.第(1)问直接将区间的端点带入函数导致值域出错;
正确答案
(2)
解析
(2)∵由题意可得有,
,
化简可得: ∴由正弦定理可得:
,∵
,∴余弦定理可得:
,∵
∴
, 所以
考查方向
解题思路
2.先由得
后利用正弦定理得
,后利用余弦定理求解。
易错点
2.第(2)问不知该往什么方向变形。
13.设的内角A,B,C的对边分别为
,且
,则c=________.
正确答案
4
解析
由及正弦定理知:
,又因为
,所以
,由余弦定理得:
,所以
;故填:4.
正弦定理与余弦定理.
考查方向
解题思路
本题考查正弦定理与余弦定理的应用,先由正弦定理将转化为3a=2b结合已知即可求得b的值,再用余弦定理即可求解.本题属于基础题
易错点
注意运算的准确性及最后结果还需开方.
知识点
已知向量当
时,有函数
17.若求
的值;
18.在中,角
的对边分别是
,且满足
求函数
的取值范围.
正确答案
解析
,
得
即因为
所以
.所以
考查方向
解题思路
先通过向量垂直,得到三角关系,利用辅助角公式得到三角函数的解析式y=sin(x-) +
,
=
,再利用二倍角公式进行合理转化。
易错点
向量的坐标运算,三角函数的恒等变换
正确答案
(0,)
解析
由 得
.根据正弦定理可得:
∴, ∴在
中 ∠
. ∴
,
,
.故函数
的取值范围为
.
考查方向
解题思路
将边用正弦定理进行转化,得到cosA=,所以A=
,求出(B-
)的取值范围,进而求出f(B)的范围。
易错点
向量的坐标运算,三角函数的恒等变换
已知向量当
时,有函数
17.若求
的值;
18.在中,角
的对边分别是
,且满足
求函数
的取值范围.
正确答案
解析
,
得
即因为
所以
.所以
考查方向
解题思路
先通过向量垂直,得到三角关系,利用辅助角公式得到三角函数的解析式y=sin(x-) +
,
=
,再利用二倍角公式进行合理转化。
易错点
向量的坐标运算,三角函数的恒等变换
正确答案
(0,)
解析
由 得
.根据正弦定理可得:
∴, ∴在
中 ∠
. ∴
,
,
.故函数
的取值范围为
.
考查方向
解题思路
将边用正弦定理进行转化,得到cosA=,所以A=
,求出(B-
)的取值范围,进而求出f(B)的范围。
易错点
向量的坐标运算,三角函数的恒等变换
5.在中,角
所对的边分别为
,若
,则
正确答案
解析
因为,由正弦定理,得:
所以,,即
=0,所以,B=
。
故选:C
考查方向
解题思路
由条件利用正弦定理化简,得出结论
易错点
本题在利用正弦定理化简上易出错。
知识点
17.在△ABC中,B=,AC=
,求AB+BC的最大值并判断取得最大值时△ABC的形状。
正确答案
△ABC是等边三角形.
解析
试题分析:本题属于解三角形的基本问题,(1)直接按照已知条件转换成关于角C有关的表达式,最后将式子化简后来求.
在△ABC中,根据
得,
同理BC=2sinA,因此AB+BC=2sinC+2sinA
因此AB+BC的最大值为.取最大值时,
,因而△ABC是等边三角形
考查方向
解题思路
本题考查正弦定理和三角函数,解题步骤如下:1、根据正弦定理将边转化为只与角C有关的式子,然后用化简后用辅助角公式合二为一,最后求出最大值及取到最大值的角C,从而判断出此时三角形的形状。
易错点
利用辅助角公式进行合二为一。
知识点
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