- 椭圆的几何性质
- 共178题
如图所示，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，x轴被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.
24.求C1，C2的方程
25.求证：MA⊥MB；
26. 记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若＝λ，求λ的取值范围．
正确答案
C1的方程：＋y2＝1；C2的方程：y＝x2－1
解析
由题意，知＝，所以a2＝2b2. ……1分
又2＝2b，得b＝1. ……2分
所以曲线C2的方程：y＝x2－1，椭圆C1的方程：＋y2＝1. ……3分
考查方向
主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线的方程，椭圆的方程，直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.
解题思路
根据题意直接列出a,b,c方程, 可求出两条曲线的方程
易错点
易在运算中出错，在转化直线与圆锥曲线关系过程中，易在切入点出错
正确答案
略
解析
证明 设直线AB：y＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知M(0，－1)．
则⇒x2－kx－1＝0， ……4分
则x1·x2＝－1，x1＋x2＝k，
所以MA⊥MB. ……7分
考查方向
解题思路
设直线方程、交点坐标. 通过向量的数量积等于零, 证明两条线互相垂直
易错点
易在运算中出错，在转化直线与圆锥曲线关系过程中，易在切入点出错
正确答案
[，＋∞)
解析
解: 设直线MA的方程：y＝k1x－1，直线MB的方程：y＝k2x－1，……8分
由25题知k1k2＝－1，M(0，－1)，
由解得或 ……9分
所以A(k1，k－1)．同理，可得B(k2，k－1)．……10分
故S1＝|MA|·|MB|＝·|k1||k2|.
由解得或
所以D(，)．同理，可得E(，)．……11分
故S2＝|MD|·|ME|＝·，
＝λ＝＝≥，……13分
则λ的取值范围是[，＋∞)．……14分
考查方向
主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线的方程，椭圆的方程，直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.
解题思路
设MA,MB的方程，通过与抛物线，椭圆联立方程组，解出A,B,D,E的坐标，然后分别用
易错点
易在运算中出错，在转化直线与圆锥曲线关系过程中，易在切入点出错
3.若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆
A
B
C
D
正确答案
解析
由椭圆方程
因此B选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选A选项。
考查方向
解题思路
根据已知椭圆方程写出其焦点和顶点坐标，从而知双曲线的顶点和焦点坐标，由此确定a,b,c的值最后给出双曲线的方程。因此B选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选A选项。
易错点
易混淆椭圆与双曲线中a,b,c之间的关系以及a,b,c在两种曲线中所表示的意义。
知识点
16.已知直线
正确答案
解析
根据椭圆参数方程设出B点坐标（acost,bsint）,由
从而得出点P 
又
考查方向
解题思路
根据椭圆参数方程设出B点坐标（acost,bsint）,由
易错点
知识点
9．已知
A
B
C
D
正确答案
解析
由已知条件画出简图，由图可知
考查方向
解题思路
1.根据已知条件画出草图；2.由椭圆的性质得到不等关系；3.求离心率的范围。
易错点
本题易在不会由平面几何的知识得到等量关系。
知识点
已知椭圆
24.求椭圆
25.过右焦点
正确答案
（1）
解析
（Ⅰ）由
由
由①②得：
椭圆
考查方向
解题思路
根据椭圆的基本信息求解即可，
易错点
不会构造函数
正确答案
（2）
解析
（Ⅱ）过右焦点
联立方程组：
设交点
则
点
所以△
令
记
此时，
考查方向
解题思路
设所求的直线方程，然后联立消元得到两根之和与之积，后构建△
易错点
不会利用换元求面积的最值。
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