椭圆的几何性质
共178题

· 椭圆的几何性质

椭圆的几何性质
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题型：单选题

单选题 · 5 分

已知,椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为

正确答案

解析

知识点

椭圆的几何性质双曲线的几何性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

设椭圆，抛物线。

（1）若经过的两个焦点，求的离心率；

（2）设A（0，b），,又M、N为与不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为，且△QMN的重心在上，求椭圆和抛物线的方程。

正确答案

（1）

解析

（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：，由

。

(2)由题设可知M、N关于y轴对称，设,由的垂心为B，有

。

由点在抛物线上，，解得：

故，得重心坐标.

由重心在抛物线上得：，，又因为M、N在椭圆上得：，椭圆方程为，抛物线方程为。

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

椭圆(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为__________。

正确答案

解析

因为A，B为左、右顶点，F1，F2为左、右焦点，

所以|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|BF1|＝a＋c.

又因为|AF1|，|F1F2|，|BF1|成等比数列，

所以(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2，

所以离心率.

知识点

等比数列的性质及应用椭圆的几何性质

题型：简答题

简答题 · 13 分

椭圆的左、右焦点分别是,离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接,设∠的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；

（3）在（2）的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点.设直线的斜率分别为，若≠0，试证明为定值，并求出这个定值。

正确答案

见解析。

解析

（1）由已知的，且，解得

所以椭圆的标准方程为

（2）设，则,

在三角形中，由正弦定理得

同理，在三角形中，由正弦定理得

而且，所以

所以

知识点

椭圆的几何性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率，且椭圆上的点到点的距离的最大值为。

（1）求椭圆的方程

（2）在椭圆上,是否存在点,使得直线与圆相交于不同的两点,且的面积最大？若存在,求出点的坐标及对应的的面积；若不存在,请说明理由。

正确答案

（1）的方程为.

（2）存在，面积最大为,点的坐标为或或或.

解析

（1）依题意,所以,

设是椭圆上任意一点,则,所以,

所以

当时,有最大值,可得,所以

故椭圆的方程为.

（2）[韦达定理法]因为在椭圆上,所以,,设,

由，得

所以,可得，

由韦达定理得,

所以

设原点到直线的距离为,则

所以

设,由,得,所以,

所以,当时,面积最大,且最大为,

此时，点的坐标为或或或.

[垂径定理切入]因为点在椭圆上运动，所以,,

圆心到直线的距离,

直线被圆所截的弦长为

所以,接下来做法同上。

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系圆锥曲线中的探索性问题

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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