- 椭圆的几何性质
- 共178题
请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中，生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。
正确答案
测试
设椭圆C：
（1）求椭圆C的离心率；
（2）如果|AB|=
正确答案
（1）
解析
设
（1）直线l的方程为 
联立
解得
因为
即
得离心率 
（2）因为
由
椭圆C的方程为
知识点
已知椭圆C：
正确答案
解析
如图所示。
根据余弦定理|AF|2＝|BF|2＋|AB|2－2|AB|·|BF|cos∠ABF，即|BF|2－16|BF|＋64＝0，得|BF|＝8.
又|OF|2＝|BF|2＋|OB|2－2|OB|·|BF|cos ∠ABF，得|OF|＝5.
根据椭圆的对称性|AF|＋|BF|＝2a＝14，得a＝7.
又|OF|＝c＝5，故离心率e＝
知识点
如图，椭圆C：
（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由。
正确答案
（1） 
解析
（1）由P
依题设知a＝2c，则b2＝3c2，②
②代入①解得c2＝1，a2＝4，b2＝3.
故椭圆C的方程为
（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，
则直线AB的方程为y＝k（x－1），③
代入椭圆方程3x2＋4y2＝12并整理，得（4k2＋3）x2－8k2x＋4（k2－3）＝0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则有
x1＋x2＝
在方程③中令x＝4得，M的坐标为（4,3k）。
从而
注意到A，F，B共线，则有k＝kAF＝kBF，即有
所以k1＋k2＝
④代入⑤得k1＋k2＝
又k3＝
故存在常数λ＝2符合题意。
（2）方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为：
令x＝4，求得M
从而直线PM的斜率为
联立
得A
则直线PA的斜率为：
所以k1＋k2＝
故存在常数λ＝2符合题意
知识点
如图，椭圆E：
（1）求椭圆E的方程。
（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q，试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。
正确答案
（1）E的方程为
（2）满足条件的点M存在，只能是M（1，0）
解析
（1）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8。
∴4a=8，∴a=2
∵e=
∴b2=a2﹣c2=3
∴椭圆E的方程为
（2）由
∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）
∴m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0
∴4k2﹣m2+3=0①
此时x0=
由
取k=0，m=
取k=
故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下
∵
∴
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（1，0）
知识点
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