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题型: 单选题
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单选题 · 5       分

是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为(       )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

是底角为的等腰三角形

知识点

椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

如图,已知椭圆的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别

,过原点且不与轴重合的直线的四个交点按纵坐标从

大到小依次为A,B,C,D,记,△和△的面积分别为.

(1)当直线轴重合时,若,求的值;

(2)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得?并说明理由。

正确答案

(1);(2)当1<λ≤时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2;当λ>时,存在与坐标轴不重合的直线l使得S1=λS2.

解析

依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为

C1,C2.

其中a>m>n>0,λ=.

(1)解法1:

如图1,若直线l与y轴重合,即直线l的方程为x=0,则S1|BD|·|OM|=a|BD|,S2|AB|·|ON|=a|AB|,

所以.

在C1和C2的方程中分别令x=0,可得yA=m,yB=n,yD=-m,

于是.

,则,化简得λ2-2λ-1=0.

由λ>1,可解得λ=.

故当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,则λ=.

解法2:如图1,若直线l与y轴重合,则

|BD|=|OB|+|OD|=m+n,|AB|=|OA|-|OB|=m-n;

S1|BD|·|OM|=a|BD|,

S2|AB|·|ON|=a|AB|。

所以.

,则,化简得λ2-2λ-1=0.

由λ>1,可解得λ=.

故当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,则λ=.

(2)解法1:

如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0),点M(-a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2,则,所以d1=d2.

又S1|BD|d1,S2|AB|d2,所以,即|BD|=λ|AB|。

由对称性可知|AB|=|CD|,所以|BC|=|BD|-|AB|=(λ-1)|AB|,

|AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|,于是

.①

将l的方程分别与C1,C2的方程联立,可求得

.

根据对称性可知xC=-xB,xD=-xA,于是

.②

从而由①和②式可得

.③

,则由m>n,可得t≠1,于是由③可解得.

因为k≠0,所以k2>0.于是③式关于k有解,当且仅当

等价于由λ>1,可解得<t<1,

,由λ>1,解得λ>,所以

当1<λ≤时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2

当λ>时,存在与坐标轴不重合的直线l使得S1=λS2.

解法2:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0),

点M(-a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2

,所以d1=d2.

又S1|BD|d1,S2|AB|d2,所以.

因为,所以.

由点A(xA,kxA),B(xB,kxB)分别在C1,C2上,可得,两式相减可得

依题意xA>xB>0,所以.所以由上式解得.

因为k2>0,所以由,可解得.

从而,解得λ>,所以

当1<λ≤时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2

当λ>时,存在与坐标轴不重合的直线l使得S1=λS2.

知识点

一元二次不等式的解法点到直线的距离公式椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,.若1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为__________。

正确答案

解析

由题意作图如图。

∵在△ABC中,

,∴λ1,λ2.

故λ1+λ2.

知识点

椭圆的几何性质
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π。

(1)若|ab|=,求证:a⊥b

(2)设c=(0,1),若abc,求α,β的值。

正确答案

见解析

解析

(1)证明:由题意得|ab|2=2,即(ab2a2-2a·bb2=2.

又因为a2b2|a|2|b|2=1,

所以22a·b=2a·b=0.

ab.

(2)解:因为ab=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),所以

由此得cos α=cos(π-β),由0<β<π,得0<π-β<π,又0<α<π,故α=π-β.代入sin α+sin β=1,得sin α=sin β=,而α>β,所以.

知识点

椭圆的几何性质
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知A,B,C是椭圆W:+y2=1上的三个点,O是坐标原点。

(1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;

(2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)椭圆W:+y2=1的右顶点B的坐标为(2,0)。

因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分。

所以可设A(1,m),代入椭圆方程得+m2=1,即m=.

所以菱形OABC的面积是|OB|·|AC|=×2×2|m|=.

(2)假设四边形OABC为菱形。

因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0)。

消y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.

设A(x1,y1),C(x2,y2),

.

所以AC的中点为M.

因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为.

因为k·≠-1,所以AC与OB不垂直。

所以OABC不是菱形,与假设矛盾。

所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形。

知识点

椭圆的几何性质
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