热门试卷

依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为

C1：，C2：.

其中a＞m＞n＞0，λ＝.

（1）解法1：

如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x＝0，则S1＝|BD|·|OM|＝a|BD|，S2＝|AB|·|ON|＝a|AB|，

所以.

在C1和C2的方程中分别令x＝0，可得yA＝m，yB＝n，yD＝－m，

于是.

若，则，化简得λ2－2λ－1＝0.

由λ＞1，可解得λ＝.

故当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，则λ＝.

解法2：如图1，若直线l与y轴重合，则

|BD|＝|OB|＋|OD|＝m＋n，|AB|＝|OA|－|OB|＝m－n；

S1＝|BD|·|OM|＝a|BD|，

S2＝|AB|·|ON|＝a|AB|。

所以.

若，则，化简得λ2－2λ－1＝0.

由λ＞1，可解得λ＝.

故当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，则λ＝.

（2）解法1：

如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2.根据对称性，不妨设直线l：y＝kx（k＞0），点M（－a,0），N（a,0）到直线l的距离分别为d1，d2，则，，所以d1＝d2.

又S1＝|BD|d1，S2＝|AB|d2，所以，即|BD|＝λ|AB|。

由对称性可知|AB|＝|CD|，所以|BC|＝|BD|－|AB|＝（λ－1）|AB|，

|AD|＝|BD|＋|AB|＝（λ＋1）|AB|，于是

.①

将l的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得

，.

根据对称性可知xC＝－xB，xD＝－xA，于是

＝.②

从而由①和②式可得

.③

令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可解得.

因为k≠0，所以k2＞0.于是③式关于k有解，当且仅当，

等价于由λ＞1，可解得＜t＜1，

即，由λ＞1，解得λ＞，所以

当1＜λ≤时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2；

当λ＞时，存在与坐标轴不重合的直线l使得S1＝λS2.

解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2.根据对称性，不妨设直线l：y＝kx（k＞0），

点M（－a,0），N（a,0）到直线l的距离分别为d1，d2，

则，，所以d1＝d2.

又S1＝|BD|d1，S2＝|AB|d2，所以.

因为，所以.

由点A（xA，kxA），B（xB，kxB）分别在C1，C2上，可得，，两式相减可得，

依题意xA＞xB＞0，所以.所以由上式解得.

因为k2＞0，所以由，可解得.

从而，解得λ＞，所以

当1＜λ≤时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2；

当λ＞时，存在与坐标轴不重合的直线l使得S1＝λS2.

（1）证明：由题意得|a－b|2＝2，即（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝2.

又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，

所以2－2a·b＝2，即a·b＝0.

故a⊥b.

（2）解：因为a＋b＝（cos α＋cos β，sin α＋sin β）＝（0,1），所以

由此得cos α＝cos（π－β），由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝，而α＞β，所以，.

（1）椭圆W：＋y2＝1的右顶点B的坐标为（2,0）。

因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分。

所以可设A（1，m），代入椭圆方程得＋m2＝1，即m＝.

所以菱形OABC的面积是|OB|·|AC|＝×2×2|m|＝.

（2）假设四边形OABC为菱形。

因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y＝kx＋m（k≠0，m≠0）。

由消y并整理得（1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－4＝0.

设A（x1，y1），C（x2，y2），

则，.

所以AC的中点为M.

因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为.

因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直。

所以OABC不是菱形，与假设矛盾。

所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形。

（1）

取AB中点E，连结CE，，，

∵AB=，=，∴是正三角形，

∴⊥AB，   ∵CA=CB，   ∴CE⊥AB，   ∵=E，∴AB⊥面，

∴AB⊥；               ……6分

（2）

由（Ⅰ）知EC⊥AB，⊥AB，

又∵面ABC⊥面，面ABC∩面=AB，∴EC⊥面，∴EC⊥，

∴EA，EC，两两相互垂直，以E为坐标原点，的方向为轴正方向，||为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，

有题设知A（1,0,0）,（0,,0）,C（0,0,）,B（－1,0,0）,则=（1,0，）,==（－1,0,）,=（0,－,）,         ……9分

设=是平面的法向量，

则，即，可取=（，1，-1），

∴=，

∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为