热门试卷

(1)

证明：如图(a)，因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD.

因为CC1∥DD1，

所以CC1⊥BD.

而AC∩BD＝O，

因此CC1⊥底面ABCD.

由题设知，O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD.

(2)解法1：如图(a)，过O1作O1H⊥OB1于H，连接HC1.

由(1)知，O1O⊥底面ABCD，

所以O1O⊥底面A1B1C1D1，于是O1O⊥A1C1.

又因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形，因此A1C1⊥B1D1，从而A1C1⊥平面BDD1B1，所以A1C1⊥OB1，于是OB1⊥平面O1HC1，进而OB1⊥C1H.

故∠C1HO1是二面角C1－OB1－D的平面角。

不妨设AB＝2.因为∠CBA＝60°，

所以，OC＝1，.

在Rt△OO1B1中，易知.

而O1C1＝1，于是.

故.

即二面角C1－OB1－D的余弦值为.

解法2：因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，从而OB，OC，OO1两两垂直。

如图(b)，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O－xyz.不妨设AB＝2.因为∠CBA＝60°，所以，OC＝1，于是相关各点的坐标为：O(0,0,0)，，C1(0,1,2)。

易知，n1＝(0,1,0)是平面BDD1B1的一个法向量。

设n2＝(x，y，z)是平面OB1C1的一个法向量，则即

取，则x＝2，，所以。

设二面角C1－OB1－D的大小为θ，易知θ是锐角，于是

cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝.

故二面角C1－OB1－D的余弦值为.