椭圆的几何性质
共178题

· 椭圆的几何性质

椭圆的几何性质
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题型：填空题

填空题 · 5 分

如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，A，B分别是在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形，则的离心率是_________.

正确答案

解析

略

知识点

椭圆的几何性质双曲线的几何性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”，若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为。

（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；

（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点。

（ⅰ）当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明；

（ⅱ）求证：线段的长为定值。

正确答案

见解析

解析

（1），

椭圆方程为，………………………………2分

准圆方程为，………………………………3分

（2）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，

设过点且与椭圆相切的直线为，

所以由得。

因为直线与椭圆相切，

所以，解得，………………………………6分

所以方程为，………………………………7分

，，………………………………8分

（ⅱ）①当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，

则：，

当：时，与准圆交于点，

此时为（或），显然直线垂直；

同理可证当：时，直线垂直，………………………………10分

②当斜率存在时，设点，其中。

设经过点与椭圆相切的直线为，

所以由

得。

由化简整理得，

因为，所以有。

设的斜率分别为，因为与椭圆相切，

所以满足上述方程，

所以，即垂直，………………………………12分

综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直。

所以线段为准圆的直径，，

所以线段的长为定值，………………………………14分

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知离心率为的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点、，是两曲线的一个公共点，若，则等于（）

正确答案

解析

略

知识点

椭圆的几何性质双曲线的几何性质

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知椭圆E：与直线：交于A,B两点,O为坐标原点。

（1）若直线l椭圆的左焦点，且k=1，求△ABC的面积；

（2）若，且直线l与圆O：相切，求圆O的半径r的值。

正确答案

见解析

解析

知识点

椭圆的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为（）。

正确答案

解析

已知，因为，所以点为圆：上的动点；因为，所以，故直角中，，当线段取到最小值是满足题意；有椭圆的性质可知，即当点与点时，。

知识点

量积判断两个平面向量的垂直关系椭圆的几何性质

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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