- 椭圆的几何性质
- 共178题
已知椭圆过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线于C相交于A、B两点,若
则k=( )
正确答案
解析
知识点
已知椭圆:
(
)的离心率
,原点到过点
,
的直线的距离是
。
(1) 求椭圆的方程;
(2) 若椭圆上一动点
关于直线
的对称点为
,求
的取值范围。
(3)如果直线(
)交椭圆
于不同的两点
,
,且
,
都在以
为圆心的圆上,求
的值。
正确答案
见解析
解析
(1),定义域为
,
则。
因为,由
得
, 由
得
,
所以的单调递增区间为
,单调递减区间为
。
(2)由题意,以为切点的切线的斜率
满足
,
所以对
恒成立。
又当时,
,
所以的最小值为
。
(3)由题意,方程化简得
+
令,则
。
当时,
,
当时,
,
所以在区间
上单调递增,在区间
上单调递减。
所以在
处取得极大值即最大值,最大值为
。
所以 当, 即
时,
的图象与
轴恰有两个交点,
方程有两个实根,
当时,
的图象与
轴恰有一个交点,
方程有一个实根,
当时,
的图象与
轴无交点,
方程无实根。
知识点
椭圆 (
是参数)的离心率是( )。
正确答案
解析
略
知识点
设椭圆的左、右焦点分别为
,上顶点为
,在
轴负半轴上有一点
,满足
,且
。
(1)求椭圆的离心率;
(2)若过三点的圆与直线
相切,求椭圆
的方程;
(3)在(2)的条件下,过右焦点作斜率为
的直线
与椭圆
交于
两点,线段
的中垂线与
轴相交于点
,求实数
的取值范围。
正确答案
(1)
(2)
(3)
解析
(1)连接,因为
,
,所以
,
即,故椭圆的离心率
,,,,,,,,,,,,,,,,3分
(2)由(1)知得
于是
,
,
的外接圆圆心为
),半径
,,,,,,,,,,,,4分
由已知圆心到直线的距离为,所以
,解得
所求椭圆方程为. ,,,,,,,,,,,,,,,,6分
(3)由(2)知, 设直线
的方程为:
消去
得
, ,,,,7分
因为过点
,所以
恒成立
设,
则,
中点
,,,,,,,,,,,,,,,9分 当
时,
为长轴,中点为原点,则
,,,,,,,,,,,,,,10分
当时
中垂线方程
,
令,
,,,,,,,,,12分
,
, 可得
综上可知实数的取值范围是
, ,,,,,,,,,,,,,,14分
知识点
如图,椭圆的左顶点为
,
是椭圆
上异于点
的任意一点,点
与点
关于点
对称。
(1)若点的坐标为
,求
的值;
(2)若椭圆上存在点
,使得
,求
的取值范围。
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)解:依题意,是线段
的中点,
因为,
,
所以 点的坐标为
。………………2分
由点在椭圆
上,
所以 , ………………4分
解得 。 ………………5分
(2)解:设,则
,且
。 ① ………………6分
因为 是线段
的中点,
所以 。 ………………7分
因为 ,
所以 。 ② ………………8分
由 ①,② 消去,整理得
。 ………………10分
所以 , ………………12分
当且仅当 时,上式等号成立。
所以 的取值范围是
。 ………………13分
知识点
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