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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知椭圆的离心率为,定点,椭圆短轴的端点是,且.

(1)求椭圆的方程;

(2)设过点且斜率不为的直线交椭圆两点.试问轴上是否存在定点

使平分?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.

正确答案

(1)

(2)存在定点,使平分

解析

(1)解:由 ,  得 .

依题意△是等腰直角三角形,从而,故.

所以椭圆的方程是.

(2)解:设,直线的方程为

将直线的方程与椭圆的方程联立,

消去.

所以 .

平分,则直线的倾斜角互补,

所以.

,则有 .

代入上式,

整理得

所以 .

代入上式,

整理得 .

由于上式对任意实数都成立,所以 .

综上,存在定点,使平分.

知识点

椭圆的几何性质
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

的等比中项,则圆锥曲线的离心率为

A

B

C

D

正确答案

D

解析

知识点

等比数列的性质及应用椭圆的几何性质双曲线的定义及标准方程
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知椭圆 ()的离心率为,连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为.

(1)求椭圆的方程;

(2)设椭圆的左焦点为,右焦点为,直线过点且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于点,线段的垂直平分线交于点M,求点M的轨迹的方程;

(3)设O为坐标原点,取上不同于O的点S,以OS为直径作圆与相交另外一点R,求该圆面积的最小值时点S的坐标。

正确答案

见解析

解析

解:(1)解:由,得,再由,解得 

由题意可知,即 

解方程组 

所以椭圆C1的方程是 

(2)因为,所以动点到定直线的距离等于它到定点(1,0)的距离,所以动点的轨迹是以为准线,为焦点的抛物线,

所以点的轨迹的方程为 

(3)因为以为直径的圆与相交于点,所以∠ORS = 90°,即

设S (),R(),=(--),=(

所以

因为,化简得 

所以

当且仅当=16,y2=±4时等号成立. 

圆的直径|OS|=

因为≥64,所以当=64即=±8时,

所以所求圆的面积的最小时,点S的坐标为(16,±8)

知识点

椭圆的几何性质
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知椭圆的离心率是,其左、右顶点分别为为短轴的端点,△的面积为

(1)求椭圆的方程

(2)为椭圆的右焦点,若点是椭圆上异于的任意一点,直线与直线分别交于两点,证明:以为直径的圆与直线相切于点

正确答案

见解析

解析

(1)解:由已知  

解得

故所求椭圆方程为

(2)证明:由(1)知

,则

于是直线方程为 ,令,得

所以,同理

所以.

所以

   

所以 ,点在以为直径的圆上,

的中点为,则

所以

所以

因为是以为直径的圆的半径,为圆心,

故以为直径的圆与直线相切于右焦点,

知识点

椭圆的几何性质
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知椭圆的上顶点为,左焦点为,直线与圆相切.过点的直线与椭圆交于两点。

(1)求椭圆的方程;

(2)当的面积达到最大时,求直线的方程。

正确答案

(1)

(2)

解析

(1)将圆的一般方程化为标准方程,则圆的圆心,半径.由得直线的方程为.

由直线与圆相切,得,所以(舍去)。

时,,故椭圆的方程为.……… ………5分

(2)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为, 则直线的方程为.

因为点在椭圆内,所以对任意,直线都与椭圆交于不同的两点。

.

设点的坐标分别为,则

,

所以.

又因为点到直线的距离,

所以的面积为.…………………………10分

,则,

.

因为,所以当时,的面积达到最大,此时,即.

故当的面积达到最大时,直线的方程为.…………………14分

知识点

椭圆的几何性质
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