- 椭圆的几何性质
- 共178题
已知椭圆的离心率为
,定点
,椭圆短轴的端点是
,
,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点且斜率不为
的直线交椭圆
于
,
两点.试问
轴上是否存在定点
,
使平分
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,说明理由.
正确答案
(1)
(2)存在定点,使
平分
解析
(1)解:由 , 得
.
依题意△是等腰直角三角形,从而
,故
.
所以椭圆的方程是
.
(2)解:设,
,直线
的方程为
.
将直线的方程与椭圆
的方程联立,
消去得
.
所以 ,
.
若平分
,则直线
,
的倾斜角互补,
所以.
设,则有
.
将 ,
代入上式,
整理得 ,
所以 .
将 ,
代入上式,
整理得 .
由于上式对任意实数都成立,所以
.
综上,存在定点,使
平分
.
知识点
若是
和
的等比中项,则圆锥曲线
的离心率为
正确答案
解析
略
知识点
已知椭圆:
(
)的离心率为
,连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左焦点为
,右焦点为
,直线
过点
且垂直于椭圆的长轴,动直线
垂直
于点
,线段
的垂直平分线交
于点M,求点M的轨迹
的方程;
(3)设O为坐标原点,取上不同于O的点S,以OS为直径作圆与
相交另外一点R,求该圆面积的最小值时点S的坐标。
正确答案
见解析
解析
解:(1)解:由,得
,再由
,解得
由题意可知,即
解方程组得
所以椭圆C1的方程是
(2)因为,所以动点
到定直线
的距离等于它到定点
(1,0)的距离,所以动点
的轨迹
是以
为准线,
为焦点的抛物线,
所以点的轨迹
的方程为
(3)因为以为直径的圆与
相交于点
,所以∠ORS = 90°,即
设S (,
),R(
,
),
=(
-
,
-
),
=(
,
)
所以
因为,
,化简得
所以,
当且仅当即
=16,y2=±4时等号成立.
圆的直径|OS|=
因为≥64,所以当
=64即
=±8时,
,
所以所求圆的面积的最小时,点S的坐标为(16,±8)
知识点
已知椭圆:
的离心率是
,其左、右顶点分别为
,
,
为短轴的端点,△
的面积为
。
(1)求椭圆的方程
;
(2)为椭圆
的右焦点,若点
是椭圆
上异于
,
的任意一点,直线
,
与直线
分别交于
,
两点,证明:以
为直径的圆与直线
相切于点
。
正确答案
见解析
解析
(1)解:由已知
解得,
。
故所求椭圆方程为,
(2)证明:由(1)知,
,
。
设,则
。
于是直线方程为
,令
,得
;
所以,同理
,
所以,
.
所以
。
所以 ,点
在以
为直径的圆上,
设的中点为
,则
,
又,
所以
。
所以 ,
因为是以
为直径的圆的半径,
为圆心,
,
故以为直径的圆与直线
相切于右焦点,
知识点
已知椭圆的上顶点为
,左焦点为
,直线
与圆
相切.过点
的直线与椭圆
交于
两点。
(1)求椭圆的方程;
(2)当的面积达到最大时,求直线的方程。
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)将圆的一般方程
化为标准方程
,则圆
的圆心
,半径
.由
得直线
的方程为
.
由直线与圆
相切,得
,所以
或
(舍去)。
当时,
,故椭圆
的方程为
.……… ………5分
(2)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为, 则直线的方程为
.
因为点在椭圆内,所以对任意
,直线都与椭圆
交于不同的两点。
由得
.
设点的坐标分别为
,则
,
所以.
又因为点到直线
的距离
,
所以的面积为
.…………………………10分
设,则
且
,
.
因为,所以当
时,
的面积
达到最大,此时
,即
.
故当的面积达到最大时,直线的方程为
.…………………14分
知识点
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