- 椭圆的几何性质
- 共178题
已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率
,且经过点A
.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)如果斜率为的直线EF与椭圆交于两个不同的点E、F,试判断直线AE、AF的斜率之和是否为定值,若是请求出此定值;若不是,请说明理由。
(3) 试求三角形AEF面积S取得最大值时,直线EF的方程。
正确答案
见解析。
解析
(1)由题意,,………………….1分
椭圆经过点A
,
,
又,解得
,
,所以椭圆方程为
. …………….3分
(2)设直线的方程为:
,代入
得:.
且
;………………….4分
设,由题意,
,
;………………….5分
分子为:
又,
,
.
即,直线的斜率之和是为定值
.………………….8分
(3)
,
………………….9分
所以
,经运算
最大………………….12分
所以直线方程为………………….13分
知识点
已知椭圆的右焦点为
,右准线为
,点
,线段
交
于点
,若
,则
=
正确答案
解析
过点B作于M,并设右准线
与x轴的交点为N,易知FN=1.由题意
,故
.又由椭圆的第二定义,得
.故选A
知识点
已知椭圆的左、右焦点分别为
,若以
为圆心,
为半径作圆
,过椭圆上一点
作此圆的切线,切点为
,且
的最小值不小于
。
(1)证明:椭圆上的点到的最短距离为
;
(2)求椭圆的离心率的取值范围;
(3)设椭圆的短半轴长为,圆
与
轴的右交点为
,过点
作斜率为
的直线
与椭圆相交于
两点,若
,求直线
被圆
截得的弦长
的最大值。
正确答案
见解析
解析
解析:
(1)设椭圆上任一点的坐标为
,
点到右准线的距离为
,则由椭圆的第二定义知:
,
,又
,
当
时,
(4分)
(2)依题意设切线长
∴当且仅当取得最小值时
取得最小值,
,
(6分)
从而解得,故离心率
的取值范围是
(8分)
(3)依题意点的坐标为
,则直线的方程为
, 联立方程组
得,设
,则有
,
,代入直线方程得
,
,又
,
,
(11分)
,直线的方程为
,圆心
到直线
的距离
,由图象可知
,
,
,
,所以
(14分)
知识点
已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为
,且该椭圆上一点A与左、右焦点F1,F2构成的三角形周长为2
+2。
(1)求椭圆C的方程;
(2)记椭圆C的上顶点为B,直线l交椭圆C于P,Q两点,问:是否存在直线l,使椭圆C的右焦点F2恰为△PQB的垂心(△PQB三条边上的高线的交点)?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由。
(3)若⊙M是以AF2为直径的圆,求证:⊙M与以坐标原点为圆心,a为半径的圆相内切。
正确答案
见解析。
解析
(1)∵椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为
,
∴,
该椭圆上一点A与左、右焦点F1,F2构成的三角形周长为2+2,
∴|AF1|+|AF2|+|F1F2|=2a+2c=+2。
解得a=,c=1,∴
=1。
∴椭圆C的方程为=1。
(2)假设存在直线l,使椭圆C的右焦点F2恰为△PQB的垂心。
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则BF2⊥PQ。
∵B(0,1),F2(1,0),∴=﹣1,∴kPQ=1。
设直线l的方程为:y=x+m,联立,
化为3x2+4mx+2m2﹣2=0,则x1+x2=,x1x2=
,(*)。
∵,
∴x1(x2﹣1)+y2(y1﹣1)=0,
∴x1(x2﹣1)+(x2+m)(x1+m﹣1)=0,化为2x1x2+(x1+x2)(m﹣1)+m2﹣m=0,
∴﹣
+m2﹣m=0,化为3m2+m﹣4=0,解得
,m=1。
经检验m=﹣符合条件,直线l的方程为y=x﹣
。
(3)证明:设A(x0,y0),F2(1,0),则M,
设两圆的半径分别为r1,r2。
|OM|==
=
。
又⊙M的半径r1=|MF2|=,r2=a=
。
∴r2﹣r1==
。
∴|OM|=r2﹣r1。
∴⊙M与以坐标原点为圆心,a为半径的圆相内切。
知识点
离心率为的椭圆
与双曲线
有相同的焦点,且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等差数列,则双曲线
的离心率等于
正确答案
解析
解析:
设椭圆:
,双曲线
:
,则
,
,
,椭圆顶点
、
、焦点
到双曲线渐近线
的距离依次为
、
、
,从而
,所以
,即
,所以
,
,
,选C。
知识点
扫码查看完整答案与解析