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  • 根据实际问题选择函数类型
  • 共10题
  • 根据实际问题选择函数类型
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1
题型：简答题
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简答题 · 14 分

17. 某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求量（万吨）与的函数关系为 ，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．

（1）试写出第个月石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；

（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．

正确答案

见解析

解析

解：（1）

（2）根据题意，

所以恒成立

即    恒成立

考查方向

本题考查了函数不等式的应用及换元思想的构建．

解题思路

本题考查函数不等式的应用．解题步骤如下：

（1）求出函数表达式。

（2）根据函数值域，列出不等式。

（3）用换元法求出的取值范围

易错点

不等式恒成立分析不够

知识点

根据实际问题选择函数类型
1
题型：填空题
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填空题 · 5 分

13.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）。若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是       小时.

正确答案

24

考查方向

本题主要考察求函数解析式和整体带换的思想，意在考察考生的运算能力。

易错点

1.没有发现192与48之间的关系导致不会解方程组；

知识点

指数函数的实际应用根据实际问题选择函数类型
1
题型：简答题
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多选题

建设项目的保修证书的主要内容包括( )。

A．保修时间
B．保修说明
C．保修单位的名称
D．保修所使用的材料
E．保修范围和内容

正确答案

A,B,C,E

解析

暂无解析

1
题型：简答题
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简答题 · 14 分

某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．

21.求a，b的值；

22.设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．

①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；

②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），

将其分别代入y=，得，

解得，

考查方向

本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．

解题思路

由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；

易错点

本题考查利用数学知识解决实际问题，在实际应用问题时易错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米

解析

）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），

∴y′=﹣，

∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）

设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），

∴f（t）==，t∈[5，20]；

②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，

t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，

从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，

∴g（t）min=300，

∴f（t）min=15，

答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米

考查方向

本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．

解题思路

①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；

②设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．

易错点

本题考查利用数学知识解键决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，在应用导数解题过程中易错．

1
题型：填空题
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填空题 · 5 分

15．某商品一直打7折出售，利润率为，购物节期间，该商品恢复了原价，并参加了“买一件送同样一件”的活动，则此时的利润率为__________。（注：利润率=(销售价格-成本)成本）

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

根据实际问题选择函数类型
1
题型：简答题
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简答题 · 14 分

17. 某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求量（万吨）与的函数关系为 ，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．

（1）试写出第个月石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；

（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．

正确答案

见解析

解析

解：（1）

（2）根据题意，

所以恒成立

即    恒成立

考查方向

本题考查了函数不等式的应用及换元思想的构建．

解题思路

本题考查函数不等式的应用．解题步骤如下：

（1）求出函数表达式。

（2）根据函数值域，列出不等式。

（3）用换元法求出的取值范围

易错点

不等式恒成立分析不够

知识点

二次函数模型根据实际问题选择函数类型
1
题型：填空题
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填空题 · 4 分

如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小.若 ，，,则的最大值是        (仰角 为直线AP与平面ABC所成角)

正确答案

解析

∵AB=15cm，AC=25cm，∠ABC=90°，∴BC=20cm，

过P作PP′⊥BC，交BC于P′，

1当P在线段BC上时，连接AP′，则

设BP′=x，则CP′=20-x，（ ）

由∠BCM=30°，得

在直角△ABP′中，

∴

令，则函数在x∈[0，20]单调递减，

∴x=0时， 取得最大值为

2当P在线段CB的延长线上时，连接AP′，则

设BP′=x，则CP′=20+x，（ ）

由∠BCM=30°，得

在直角△ABP′中，

∴，

令，则，

所以，当 时 ；当 时

所以当 时

此时时， 取得最大值为

综合1，2可知 取得最大值为

知识点

根据实际问题选择函数类型解三角形的实际应用
1
题型： 单选题
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单选题 · 5 分

设是一个正整数，的展开式中第四项的系数为，记函数与 的图像所围成的阴影部分为，任取,则点恰好落在阴影区域内的概率为（  ）

A

B   

C

D

正确答案

C

解析

略

知识点

根据实际问题选择函数类型
1
题型： 单选题
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单选题 · 5 分

8．某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（   ）

A12万元

B16万元

C17万元

D18万元

正确答案

D

解析

设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元， 

则3x+2y≤12x+2y≤8x≥0，y≥0， 目标函数为 z=3x+4y． 

作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域。

由z=3， 即B的坐标为x=2，y=3， 

∴Zmax=3x+4y=6+12=18． 

即每天生产甲乙两种产品分别为2，3顿，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元， 

考查方向

本题主要考查应用题、线性规划最优解等知识，意在考查考生的理解问题解决问题的能力和数形结合的能力．

解题思路

设每天生产甲乙两=3x+4y得y=-34x+z4，

平移直线y=-34x+z4由图象可知当直线y=-34x+z4经过点B时，直线y=-34x+z4的截距最大， 此时z最大，

解方程组3x+2y＝12x+2y＝8，解得x＝2y＝分别为x，y顿，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．  

易错点

1.不会根据题意设变量表示题中的约束条件；

2.不会利用线性规划求目标函数的最值。

教师点评

考生需要掌握目标函数的设立，了解约束条件并作图标，利用线性规划求目标函数的最值。

知识点

二次函数的应用根据实际问题选择函数类型
1
题型：简答题
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简答题 · 12 分

20．小明同学制作了一个简易的网球发射器，可用于帮忙练习定点接发球，如图1所示，网球场前半区、后半区总长为23.77米，球网的中间部分高度为0.914米，发射器固定安装在后半区离球网底部8米处中轴线上，发射方向与球网底部所在直线垂直．为计算方便，球场长度和球网中间高度分别按24米和1米计算，发射器和网球大小均忽略不计．如图2所示，以发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系，x轴在地平面上的球场中轴线上，y轴垂直于地平面，单位长度为1米．已知若不考虑球网的影响，网球发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．发射器的射程是指网球落地点的横坐标．(Ⅰ)求发射器的最大射程；(Ⅱ)请计算在什么范围内，发射器能将球发过网（即网球飞行到球网正上空时，网球离地距离大于1米）？若发射器将网球发过球网后，在网球着地前，小明要想在前半区中轴线的正上空选择一个离地面2.55米处的击球点正好击中网球，试问击球点的横坐标最大为多少？并请说明理由．

正确答案

(1)由得：或由，当且仅当时取等号因此，最大射程为20米；

(Ⅱ)网球发过球网，满足时

 所以，即，

因此    

 依题意：关于k的方程 在上有实数解  

即     

得， 此时，球过网了，所以击球点的横坐标 a最大为14

解析

本题是函数的应用，将实际问题与函数联系起来，有利于学生对函数的理解。

考查方向

函数的应用

解题思路

最大射程就是最大值，是网球落地的横坐标

易错点

实际问题和函数模型的转换

知识点

根据实际问题选择函数类型基本不等式的实际应用
棒棒哒，已学完当前知识点 学习下一知识点
下一知识点 : 函数模型的选择与应用
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