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题型:简答题
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简答题 · 14 分

17. 某油库的设计容量为30万吨,年初储量为10万吨,从年初起计划每月购进石油 万吨,以满足区域内和区域外的需求,若区域内每月用石油1万吨,区域外前个月的需求量(万吨)与的函数关系为 ,并且前4个月,区域外的需求量为20万吨.

(1)试写出第个月石油调出后,油库内储油量(万吨)与的函数关系式;

(2)要使16个月内每月按计划购进石油之后,油库总能满足区域内和区域外的需求,且每月石油调出后,油库的石油剩余量不超过油库的容量,试确定的取值范围.

正确答案

见解析

解析

解:(1)

(2)根据题意

所以恒成立

即    恒成立

考查方向

本题考查了函数不等式的应用及换元思想的构建.

解题思路

本题考查函数不等式的应用.解题步骤如下:

(1)求出函数表达式。

(2)根据函数值域,列出不等式。

(3)用换元法求出的取值范围

易错点

不等式恒成立分析不够

知识点

根据实际问题选择函数类型
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

13.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:)满足函数关系为自然对数的底数,k、b为常数)。若该食品在0的保鲜时间设计192小时,在22的保鲜时间是48小时,则该食品在33的保鲜时间是       小时.

正确答案

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考查方向

本题主要考察求函数解析式和整体带换的思想,意在考察考生的运算能力。

易错点

1.没有发现192与48之间的关系导致不会解方程组;

知识点

指数函数的实际应用根据实际问题选择函数类型
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题型:简答题
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多选题

建设项目的保修证书的主要内容包括( )。

A.保修时间
B.保修说明
C.保修单位的名称
D.保修所使用的材料
E.保修范围和内容

正确答案

A,B,C,E

解析

暂无解析

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题型:简答题
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简答题 · 14 分

某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.

21.求a,b的值;

22.设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.

①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;

②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5),

将其分别代入y=,得

解得

考查方向

本题考查利用数学知识解决实际问题,考查导数知识的综合运用,确定函数关系,正确求导是关键.

解题思路

由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5),将其分别代入y=,建立方程组,即可求a,b的值;

易错点

本题考查利用数学知识解决实际问题,在实际应用问题时易错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米

解析

)①由(1)y=(5≤x≤20),P(t,),

∴y′=﹣

∴切线l的方程为y﹣=﹣(x﹣t)

设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,则A(,0),B(0,),

∴f(t)==,t∈[5,20];

②设g(t)=,则g′(t)=2t﹣=0,解得t=10

t∈(5,10)时,g′(t)<0,g(t)是减函数;t∈(10,20)时,g′(t)>0,g(t)是增函数,

从而t=10时,函数g(t)有极小值也是最小值,

∴g(t)min=300,

∴f(t)min=15

答:t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米

考查方向

本题考查利用数学知识解决实际问题,考查导数知识的综合运用,确定函数关系,正确求导是关键.

解题思路

①求出切线l的方程,可得A,B的坐标,即可写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;

②设g(t)=,利用导数,确定单调性,即可求出当t为何值时,公路l的长度最短,并求出最短长度.

易错点

本题考查利用数学知识解键决实际问题,考查导数知识的综合运用,确定函数关系,在应用导数解题过程中易错.

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题型:填空题
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填空题 · 5 分

15.某商品一直打7折出售,利润率为,购物节期间,该商品恢复了原价,并参加了“买一件送同样一件”的活动,则此时的利润率为__________。(注:利润率=(销售价格-成本)成本)

正确答案

解析

解析已在路上飞奔,马上就到!

知识点

根据实际问题选择函数类型
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

17. 某油库的设计容量为30万吨,年初储量为10万吨,从年初起计划每月购进石油 万吨,以满足区域内和区域外的需求,若区域内每月用石油1万吨,区域外前个月的需求量(万吨)与的函数关系为 ,并且前4个月,区域外的需求量为20万吨.

(1)试写出第个月石油调出后,油库内储油量(万吨)与的函数关系式;

(2)要使16个月内每月按计划购进石油之后,油库总能满足区域内和区域外的需求,且每月石油调出后,油库的石油剩余量不超过油库的容量,试确定的取值范围.

正确答案

见解析

解析

解:(1)

(2)根据题意

所以恒成立

即    恒成立

考查方向

本题考查了函数不等式的应用及换元思想的构建.

解题思路

本题考查函数不等式的应用.解题步骤如下:

(1)求出函数表达式。

(2)根据函数值域,列出不等式。

(3)用换元法求出的取值范围

易错点

不等式恒成立分析不够

知识点

二次函数模型根据实际问题选择函数类型
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题型:填空题
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填空题 · 4 分

如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射击线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角的大小.若 ,,则的最大值是        (仰角 为直线AP与平面ABC所成角)

正确答案

解析

∵AB=15cm,AC=25cm,∠ABC=90°,∴BC=20cm,

过P作PP′⊥BC,交BC于P′,

1当P在线段BC上时,连接AP′,则

设BP′=x,则CP′=20-x,( )

由∠BCM=30°,得

在直角△ABP′中,

,则函数在x∈[0,20]单调递减,

∴x=0时, 取得最大值为

2当P在线段CB的延长线上时,连接AP′,则

设BP′=x,则CP′=20+x,( )

由∠BCM=30°,得

在直角△ABP′中,

,则

所以,当 时 ;当 时

所以当 时

此时时, 取得最大值为

综合1,2可知 取得最大值为

知识点

根据实际问题选择函数类型解三角形的实际应用
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

是一个正整数,的展开式中第四项的系数为,记函数 的图像所围成的阴影部分为,任取,则点恰好落在阴影区域内的概率为(  )

A

B   

C

D

正确答案

C

解析

知识点

根据实际问题选择函数类型
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

8.某企业生产甲乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为(   )

A12万元

B16万元

C17万元

D18万元

正确答案

D

解析

设每天生产甲乙两种产品分别为x,y顿,利润为z元, 

则3x+2y≤12x+2y≤8x≥0,y≥0, 目标函数为 z=3x+4y. 

作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)即可行域。

由z=3, 即B的坐标为x=2,y=3, 

∴Zmax=3x+4y=6+12=18. 

即每天生产甲乙两种产品分别为2,3顿,能够产生最大的利润,最大的利润是18万元, 

考查方向

本题主要考查应用题、线性规划最优解等知识,意在考查考生的理解问题解决问题的能力和数形结合的能力.

解题思路

设每天生产甲乙两=3x+4y得y=-34x+z4,

平移直线y=-34x+z4由图象可知当直线y=-34x+z4经过点B时,直线y=-34x+z4的截距最大, 此时z最大,

解方程组3x+2y=12x+2y=8,解得x=2y=分别为x,y顿,利润为z元,然后根据题目条件建立约束条件,得到目标函数,画出约束条件所表示的区域,然后利用平移法求出z的最大值.  

易错点

1.不会根据题意设变量表示题中的约束条件;

2.不会利用线性规划求目标函数的最值。

教师点评

考生需要掌握目标函数的设立,了解约束条件并作图标,利用线性规划求目标函数的最值。

知识点

二次函数的应用根据实际问题选择函数类型
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

20.小明同学制作了一个简易的网球发射器,可用于帮忙练习定点接发球,如图1所示,网球场前半区、后半区总长为23.77米,球网的中间部分高度为0.914米,发射器固定安装在后半区离球网底部8米处中轴线上,发射方向与球网底部所在直线垂直.为计算方便,球场长度和球网中间高度分别按24米和1米计算,发射器和网球大小均忽略不计.如图2所示,以发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系x轴在地平面上的球场中轴线上,y轴垂直于地平面,单位长度为1米.已知若不考虑球网的影响,网球发射后的轨迹在方程表示的曲线上,其中与发射方向有关.发射器的射程是指网球落地点的横坐标.(Ⅰ)求发射器的最大射程;(Ⅱ)请计算在什么范围内,发射器能将球发过网(即网球飞行到球网正上空时,网球离地距离大于1米)?若发射器将网球发过球网后,在网球着地前,小明要想在前半区中轴线的正上空选择一个离地面2.55米处的击球点正好击中网球,试问击球点的横坐标最大为多少?并请说明理由.

正确答案

(1)由得:,当且仅当时取等号因此,最大射程为20米;

(Ⅱ)网球发过球网,满足

 所以,即

因此    

 依题意:关于k的方程 上有实数解  

     

, 此时,球过网了,所以击球点的横坐标 a最大为14

解析

本题是函数的应用,将实际问题与函数联系起来,有利于学生对函数的理解。

考查方向

函数的应用

解题思路

最大射程就是最大值,是网球落地的横坐标

易错点

实际问题和函数模型的转换

知识点

根据实际问题选择函数类型基本不等式的实际应用
下一知识点 : 函数模型的选择与应用
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