函数概念与表示_章节学习

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

函数的定义域为,若满足①在内是单调函数,②存在,使在上的值域为,那么叫做对称函数,现有是对称函数, 那么的取值范围是。

正确答案

解析

由于在上是减函数，所以关于的方程在上有两个不同实根。通过换元结合图象可得

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知点P在半径为1的半圆周上沿着APB路径运动，设弧的长度为x，弓形面积为（如图所示的阴影部分），则关于函数的有如下结论：

①函数的定义域和值域都是；

②如果函数的定义域R，则函数是周期函数；

③如果函数的定义域R，则函数是奇函数；

④函数在区间上是单调递增函数。

以上结论的正确个数是（）

A1

B2

C3

D4

正确答案

B

解析

因为，，所以

，它的定义域是，，在区间上是增函数，，显然该函数不是周期函数，如果函数的定义域R，则函数是奇函数，故①、②不正确，③和④正确，选B.

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

近年来，某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积(单位:平方米)之间的函数关系是为常数). 记为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和.

（1）试解释的实际意义, 并建立关于的函数关系式；

（2）当为多少平方米时, 取得最小值？最小值是多少万元？

正确答案

见解析

解析

解: （1）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,

即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费

由,得

所以

（2）因为

当且仅当,即时取等号

所以当为55平方米时, 取得最小值为59.75万元

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

对于定义在区间上的函数, 若任给, 均有, 则称函数在区间上封闭。

（1）试判断在区间上是否封闭, 并说明理由；

（2）若函数在区间上封闭, 求实数的取值范围；

（3）若函数在区间上封闭, 求的值。

正确答案

见解析

解析

解: （1）在区间上单调递增,所以的值域为[-3,0]

而[-1,0],所以在区间上不是封闭的

（2）因为,

①当时,函数的值域为,适合题意

②当时,函数在区间上单调递减,故它的值域为,

由,得,解得,故

③当时,在区间上有,显然不合题意

综上所述, 实数的取值范围是

（3）因为,所以,

所以在上单调递减,在上递增,在上递增。

①当时,在区间上递增,所以,此时无解

②当时,因,矛盾,不合题意

③当时,因为都在函数的值域内,故,

又,解得,从而

④当时,在区间上递减, (*),

而,经检验,均不合(*)式

⑤当时,因,矛盾,不合题意

⑥当时,在区间上递增,所以,此时无解

综上所述,所求整数的值为

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数的最小正周期为，且.

（1）求的值；

（2）若，求的值。

正确答案

见解析

解析

（1）由函数的周期为，可知，所以

又由，得，所以

又，所以

（2）（方法一）由，得

因为，所以

又，，所以

所以

（方法二）由，得

因为，所以

又，，所以

所以

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知，直线与函数有且仅有一个公共点，

则；公共点坐标是 .

正确答案

，.

解析

构造新函数，，令

有，因为，当时，；当时，

所以，在处有最大值，当时，直线与函数有且仅有一个公共点，即，

，，则,即公共点坐标是，所以两空分别填，.

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：

据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体

进行教学次数在内的人数为 ▲ 。

正确答案

100

解析

所抽取的20人中在内的人数10人，

故可得200名教师中使用多媒体进行教学次数在内的人数为=100人。

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

设函数对任意，都有，当时，‍,

（1）求证：是奇函数;

（2）试问：在时，是否有最大值？如果有，求出最大值，如果没有，说明理由。

（3）解关于的不等式

正确答案

见解析

解析

解析：（1）设可得，设，则

所以为奇函数.

（2）任取，则，又

所以

所以为减函数。

那么函数最大值为，最小值为

‍,

所以函数最大值为4，所以函数最小值为-4，

（3）由题设可知

即

可化为

即，在R上为减函数

‍,又

所以解为

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

已知函数.

（1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；

（2）求证：≥0恒成立的充要条件是；

（3）若，且对任意，都有，求实数的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1）因为，所以。

所以曲线在处切线的斜率为

因为曲线在处切线为

所以，解得

（2）①充分性。

当时，，，

所以当时，，所以函数在上是增函数，

当时，，所以函数在上是减函数

所以

②必要性。，其中.

（i）当时，恒成立，所以函数在上是增函数。

而，所以当时，，与恒成立相矛盾。

所以不满足题意.

（ii）当时，

因为当时，，所以函数在上是增函数；

当时，，所以函数在上是减函数。

所以

因为，所以当时，，此时与恒成立相矛盾。

所以

综上所述，恒成立的充要条件是

（3）由（2）可知，

当时，函数在上是增函数，又函数在上是减函数

不妨设，

则，

所以等价于

即

设

则等价于函数在区间上是减函数

因为，所以在时恒成立，

即在上恒成立，即不小于在区间内的最大值

而函数在区间上是增函数，所以的最大值为

所以

又，所以

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：

①P、Q都在函数的图象上；

②P、Q关于原点对称，则称点对（P，Q）是函数的一个“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一个“友好点对”）.

已知函数则的“友好点对”有个.

正确答案

2

解析

由题意，在函数上任取一点，则该点关于原点对称的点在函数上，故，所以有，

令

由图像可知：的“友好点对”有2个

知识点

函数的概念及其构成要素

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