函数概念与表示
共1891题

函数概念与表示
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题型：简答题

简答题 · 12 分

设函数，其图象在点处切线的斜率为

（1）求函数的单调区间（用只含有的式子表示）；

（2）当时，令，设，是函数的两个根，是，的等差中项，求证：（为函数的导函数）。

正确答案

见解析

解析

（1）函数的定义域为。

，则，即。

于是。

① 当时，，在上是单调减函

② 当时，令，得（负舍），

所以在上是单调减函数，在上是单调增函数；

③ 当时，若，则恒成立，在上单调减函数；

若，令，得（负舍），

所以在上单调增函数，在上单调减函数；

综上，若，的单调减区间为，单调增区间为；

若，的单调减区间为；

若，的单调增区间为，单调减区间为，

（2）因为，所以，即。

因为的两零点为，，则

相减得：，

因为，所以，

于是

令，，

则，则在上单调递减，

则，又，则，命题得证

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知关于x的函数

（1）当时，求函数的极值；

（2）若函数没有零点，求实数a取值范围。

正确答案

见解析

解析

解：（1），，

当时，,的情况如下表：

所以，当时，函数的极小值为。

（2）。

①当时，的情况如下表：

因为F（1）=1＞0,

若使函数F（x）没有零点，需且仅需，解得

所以此时

②当时，的情况如下表：

因为,且，

所以此时函数总存在零点

（或：当时，

当时，令即

由于令

得，即时，即时存在零点，）

综上所述，所求实数a的取值范围是

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知函数f(x)满足f(x)十f(-x) = 0，现将函数f(x)的图像按照平移，得到g(x）=2 + x + sin(x + 1)的图像，则=

A(-1,-1)

B(-1,1)

C(-1,-2)

D(1,2)

正确答案

解析

由函数满足可知以点为对称中心，又可知以点为对称中心，因此. 故选B.

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

单选题 · 5 分

定义在上的函数满足：则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为

正确答案

解析

略

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

填空题 · 5 分

设，若f （x）在x=1处的切线与直线垂直，则实数a 的值为

正确答案

-1

解析

略

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知函数是R上的偶函数，当时，都有.设，则

正确答案

解析

略

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知函数f(x)= (1+tanx)cos2x的定义域为（0, )，则函数f(x)的值域为

正确答案

解析

，

因为，所以，

所以的值域为.

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

填空题 · 5 分

函数的定义域为A,若且时总有,则称

为单函数，例如,函数是单函数，下列命题:

① 函数是单函数;

②函数是单函数;

③ 若为单函数, 且,则;

④ 若函数在定义域内某个区间D上具有单调性,则一定是单函数。

其中真命题是

正确答案

⑤

解析

略

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

单选题 · 5 分

函数的定义域为

正确答案

解析

略

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

填空题 · 5 分

如果一个棱柱的底面是正多边形，并且侧棱与底面垂直,这样的棱柱叫做正棱柱.已知一个正六棱柱的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱柱的体积的最大值为

正确答案

解析

设棱柱高为

则底面积，则

，

令解得，

则.

知识点

函数的概念及其构成要素

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