热门试卷

（1）∵

，

∴。

∴函数的图像可由的图像按如下方式变换得到：

①将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像；

②将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图像；

③将函数的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数的图像。

(说明：横坐标先放缩，再平移也可，即将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数，再将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，最后将函数的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数的图像。)

（2） 由（1）知，，

∴。

又对任意，有，

∴函数是偶函数。

∵函数的最小正周期是，

∴结合图像可知，函数的最小正周期是。

（3） 先求函数在一个周期内的单调区间和函数值的取值范围。

当时，，故。

易知，此时函数的单调增区间是，单调减区间是；

函数的取值范围是。

因此，依据周期函数的性质，可知函数的单调增区间是

；单调减区间是；

函数的值域是。

（1）是N上的严格增函数.

此因由于，，设，且，注意到递增

，

是N上的严格增函数. __________3分

（2）证明：对①

由已知②由①，②__________6分

（3）若由已知得，矛盾；

设，，③

由严格递增，即，

，，__________9分

由③有故

，.

依此类推可知.__________11分

且存在当自变量从时，

函数值正好从；

又因为，

函数值个，变量.

所以存在.__________13分

解：（1）f′（x）==，

令h（x）=（x﹣1）ex+1，则h′（x）=ex+ex（x﹣1）=xex，

当x＞0时，h′（x）=xex＞0，∴h（x）是上的增函数，

∴h（x）＞h（0）=0

故f′（x）=＞0，即函数f（x）是（0，+∞）上的增函数，

（2）|f（x）﹣1|=||，

当x＞0时，令g（x）=ex﹣x﹣1，则g′（x）=ex﹣1＞0

故g（x）＞g（0）=0，∴|f（x）﹣1|=，

原不等式化为＜a，即ex﹣（1+a）x﹣1＜0，

令∅（x）=ex﹣（1+a）x﹣1，则∅′（x）=ex﹣（1+a），

由∅（x）=0得：ex=1+a，解得x=ln（1+a），

当0＜x＜ln（1+a）时，∅′（x）＜0；当x＞ln（1+a）时，∅′（x）＞0。

故当x=ln（1+a）时，∅（x）取最小值∅[ln（1+a）]=a﹣（1+a）ln（1+a），

令s（a）=﹣ln（1+a），a＞0则s′（a）=＜0。

故s（a）＜a（0）=0，即∅[ln（1+a）]=a﹣（1+a）ln（1+a）＜0。

因此，存在正数x=ln（1+a），使原不等式成立。

（1）

∴函数在点处的切线方程为

令，得

，

∵数列是首项，公差的等差数列，

（2）

（3）∵组成以为首项，以为公差的等差数列

组成以为首项，以2d为公差的等差数列，

∴对于正整数n，当时，;当n=19时，

当时，

（1）当时，

令，得，得

当时，，当

∴当时，函数有最小值，

（2）证明：

又

即对，总有成立，

（3）解法一：函数的零点，即方程的实根，

将方程化为

由（1）知

令，

则

，即函数在[1，e]上为增函数，

，

∴当时，方程有一个实根，函数有一个零点；

当或时,方程没有实根,函数没有零点，

解法二：

当时，对恒成立，即函数在[1，e]单调递增，

则当，即时，函数在[1，e]上有唯一零点，结合，解得

当时，函数,在单调递减，在单调递增，

∴函数在[1，e]上无零点，

当时，函数在[1，e]单调递减，

∴函数在[1，e]上无零点，

综上可知，当时，函数有一个零点，

当或时，函数没有零点，