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题型:简答题
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简答题 · 12 分

18.如图,在已ABCDEF为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是

(I)证明:平面ABEF古平面EFDC

(II)求二面角E-BC-A的余弦值.

正确答案

(1) 证明

∵  平面ABEF为正方形            

∴ AF⊥PE

又∵  ∠AFD=90°即AF⊥FD

而FE,FD 平面FECD     且  FE∩FD=F

∴ AF⊥平面EFDC

又AF平面ABEF

∴平面ABEF ⊥平面EFDC


 

(II) ∵  二面角D-AF-E的平面角为60°

∴ ∠DFE=60°

     在平在面EFDC内作DO⊥EF 于点O, 则DO⊥平面ABEF.

令AF=4,则DF=2.在△ADF 中, OF=1,OD=

在平面ABEF 内作OA//AF 交AB 于M , 则OM ⊥EF

以O为原点,OM,OE,OD 分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系,

则E(0,3,0),B(4,3,0),C(0,4,  ),D(4,-1,0)

直角坐标系,则E(0,3,0),B(4,3,0),C(0,4,  ),D(4,-1,0)

设平面EBC法向量为

 

(II)

设平面BCA法向量为

   而

   ∴

∴  二面角E-BC-A的余弦值为

知识点

异面直线及其所成的角直线与平面垂直的判定与性质二面角的平面角及求法
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

17.(本小题满分12分)

在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O的直径,FB是圆台的一条母线.

(I)已知G,H分别为ECFB的中点,求证:GH∥平面ABC

(II)已知EF=FB=AC=AB=BC.求二面角的余弦值.

正确答案

知识点

直线与平面平行的判定与性质二面角的平面角及求法
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

3.在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(1,-1, ),(4,3, ),则这个锐二面角的余弦值为(  ).

A

B

C

D

正确答案

A

解析

,知这个锐二面角的余弦值为

知识点

二面角的平面角及求法
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

16.多面体ABCDEF(如图甲)的俯视图如图乙,己知面ADE为正三角形

(1)求多面体ABCDEF的体积;

(2)求二面角A-BF-C的余弦值.

正确答案

(1)

(2)

解析

本题属于立体几何中的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难.

(1)分别取AB、CD的中点M、N,连接EM、EN、MN,多面体体积转化为棱柱AED-MFN的体积V1与四棱锥F-MBCN的体积V2之和。由三视图可知,AD=2,AM=DN=1,面ADE为正三角形且垂直于底面ABCD,知F点到底面的距离为。所以V=V1+V2=+/3=.

(2)取MN的中点O,BC的中点P,以OM为x轴,OP为y轴,OF为z轴建立坐标系,易知A(1,-1,0),B(1,1,0),F(0,0, ),C(-1,1,0),则设面ABF的法向量,可得面ABF的一个法向量同理。设二面角A-BF-C的平面角为θ,

考查方向

本题考查了立体几何中的体积和二面角的问题.属于高考中的高频考点。

解题思路


易错点

1、第一问中的多面体的拆分。

2、第二问中二面角的求解时要建立适当的空间直角坐标系。

知识点

组合几何体的面积、体积问题简单空间图形的三视图二面角的平面角及求法
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD=,F为PC的中点,AF⊥PB。

(1)求PA的长;

(2)求二面角B-AF-D的正弦值。

正确答案

(1) ; (2)

解析

(1)

如图,连接BD交AC于O,因为BC=CD,即△BCD为等腰三角形,又AC平分∠BCD,故AC⊥BD。以O为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz,则OC=CD=1,而AC=4,得AO=AC-OC=3,又OD=CD,故A(0,-3,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(,0,0)。

因PA⊥底面ABCD,可设P(0,-3,z),由F为PC边中点,F.

=(,3,-z),

因AF⊥PB,故·=0,

即6-=0,(舍去),

所以||=.

(2)由(1)知=(,3,0),=(,3,0),=(0,2,),设平面FAD的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面FAB的法向量为n2=(x2,y2,z2),

n1·=0,n1·=0,得

因此可取n1=(3,,-2)。

n2·=0,n2·=0,

故可取n2=(3,,2)。

从而法向量n1n2的夹角的余弦值为

cos〈n1n2〉=

故二面角B-AF-D的正弦值为

知识点

空间点、线、面的位置用空间向量求平面间的夹角二面角的平面角及求法
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题型:简答题
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简答题 · 15 分

如图,在四棱锥P—ABCD中,底面是边长为的菱形,且∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=,M,N分别为PB,PD的中点。

(1)证明:MN∥平面ABCD;

(2) 过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值。

正确答案

见解析

解析

本题主要考察线面平行的证明方法,建系求二面角等知识点。

(1)如图连接BD.

∵M,N分别为PB,PD的中点,

∴在PBD中,MN∥BD。

又MN平面ABCD,

∴MN∥平面ABCD;

(2)如图建系:

A(0,0,0),P(0,0,),M(,0),

N(,0,0),C(,3,0)。

设Q(x,y,z),则

,∴

,得:。   即:

对于平面AMN:设其法向量为

。  ∴

同理对于平面AMN得其法向量为

记所求二面角A—MN—Q的平面角大小为

∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质用向量证明平行二面角的平面角及求法
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为2,侧棱长为中点。

(1)求证;∥平面

(2)求二面角A1-AB1-D的大小。

正确答案

见解析。

解析

(1)如图,连结A1B与AB1交于E,连结DE,则E为A1B的中点,

∴BC1∥DE,平面平面,

∥平面

(2)过D作DF⊥A1B1于F,

由正三棱柱的性质,AA1⊥DF,∴DF⊥平面ABB1A1

连结EF,DE,在正三角形A1B1C1中,

∵D是A1C1的中点,∴

又在直角三角形AA1D中,

,∴AD=B1D。

∴DE⊥AB1,∴可得EF⊥AB1

则∠DEF为二面角A1-AB1-D的平面角,

可求得

∵△B1FE∽△B1AA1,得

,即为所求。

(2)解法(二)(空间向量法)

建立如图所示空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B1(0,1,),

C1(-,0,),A1(0,-1,),D(-,-)。     

n1=(x,y,z)是平面AB1D的一个法向量,

则可得 ,即

又平面ABB1A1的一个法向量

n1n2的夹角是θ,则 cosθ=

又可知二面角A1-AB1-D是锐角。

∴二面角A1-AB1-D的大小是

知识点

直线与平面平行的判定与性质二面角的平面角及求法
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

19. 如图,矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=CD,BE⊥DF.

(Ⅰ)若M为EA中点,求证:AC∥平面MDF; 

(Ⅱ)求平面EAD与平面EBC所成锐二面角的大小.

正确答案

(1)略;(2)60O

解析

⑴证明:设交于点,连结

在矩形中,点中点,

因为中点,

所以

又因为平面平面

所以∥平面

⑵解:因为平面平面,平面平面平面

所以平面

 以为坐标原点,建立如图空间直角坐标系,

因为, 

所以

设平面的法向量, 由 得到的一个解为

注意到平面的法向量,而

所以,平面所成锐二面角的大小为 。

考查方向

本题考查了立体几何中的线面平行和二面角的问题.属于高考中的高频考点。

解题思路

1、转化为证明线线平行

2、建立空间直角坐标系,利用夹角的余弦公式求解。

易错点

1、第一问中的线面平行的转化。

2、第二问中二面角求解时要建立适当的空间直角坐标系。

知识点

直线与平面平行的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质二面角的平面角及求法
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

18.如图所示,该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成,.

(1)证明:平面平面

(2)求正四棱锥的高,使得二面角的余弦值是.

正确答案

(1)略;

(2)1

解析

试题分析:本题属于立体几何中的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难.

(1)证明:直三棱柱中,平面

所以:,又

所以:平面平面

所以:平面平面

(2)由(2)平面

为原点,方向为轴建立空间直角坐标系

设正四棱锥的高

设平面的一个法向量

则:

所以:

设平面的一个法向量

,则

所以:二面角的余弦值是

所以,

解得:

考查方向

本题考查了立体几何中的面面垂直和二面角的问题.属于高考中的高频考点。

解题思路

本题考查导数的性质,解题步骤如下:

1、转化为证明线面垂直。

2、建立空间直角坐标系,利用夹角的余弦公式求解。


易错点

1、第一问中的面面垂直的转化。

2、第二问中二面角求解时要建立适当的空间直角坐标系。

知识点

平面与平面垂直的判定与性质二面角的平面角及求法
下一知识点 : 与二面角有关的立体几何综合题
百度题库 > 高考 > 理科数学 > 二面角的平面角及求法

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