二面角的平面角及求法
共9题

· 二面角的平面角及求法

二面角的平面角及求法
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题型：简答题

简答题 · 12 分

18.如图，在已A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是．

（I）证明：平面ABEF古平面EFDC；

（II）求二面角E-BC-A的余弦值．

正确答案

(1) 证明

∵ 平面ABEF为正方形

∴ AF⊥PE

又∵ ∠AFD=90°即AF⊥FD

而FE，FD 平面FECD 且 FE∩FD=F

∴ AF⊥平面EFDC

又AF平面ABEF

∴平面ABEF ⊥平面EFDC

(II) ∵ 二面角D-AF-E的平面角为60°

∴ ∠DFE=60°

在平在面EFDC内作DO⊥EF 于点O, 则DO⊥平面ABEF.

令AF=4,则DF=2.在△ADF 中， OF=1,OD=

在平面ABEF 内作OA//AF 交AB 于M , 则OM ⊥EF

以O为原点，OM,OE,OD 分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系，

则E（0，3，0）,B(4,3,0),C(0,4, ),D(4,-1,0)

直角坐标系，则E（0，3，0），B（4，3，0），C(0，4， )，D（4，-1，0）

设平面EBC法向量为则而

∴∴

(II)

设平面BCA法向量为

则而

∴ ∴

∴

∴ 二面角E-BC-A的余弦值为

知识点

异面直线及其所成的角直线与平面垂直的判定与性质二面角的平面角及求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

17.（本小题满分12分）

在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.

（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；

（II）已知EF=FB=AC=AB=BC.求二面角的余弦值.

正确答案

知识点

直线与平面平行的判定与性质二面角的平面角及求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．如图，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD，BE⊥DF．

（Ⅰ）若M为EA中点，求证：AC∥平面MDF；

（Ⅱ）求平面EAD与平面EBC所成锐二面角的大小．

正确答案

（1）略；（2）60O．

解析

⑴证明：设与交于点，连结，

在矩形中，点为中点，

因为为中点，

所以∥，

又因为平面，平面，

所以∥平面。

⑵解：因为平面平面，平面平面，平面，，

所以平面，

以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，

设，，，

因为，

所以，，

设平面的法向量，由得到的一个解为，

注意到平面的法向量，而

所以，平面与所成锐二面角的大小为。

考查方向

本题考查了立体几何中的线面平行和二面角的问题．属于高考中的高频考点。

解题思路

1、转化为证明线线平行

2、建立空间直角坐标系，利用夹角的余弦公式求解。

易错点

1、第一问中的线面平行的转化。

2、第二问中二面角求解时要建立适当的空间直角坐标系。

知识点

直线与平面平行的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质二面角的平面角及求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

18.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，，.

（1）证明：平面平面；

（2）求正四棱锥的高，使得二面角的余弦值是.

正确答案

（1）略；

（2）1

解析

试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难．

（1）证明：直三棱柱中，平面，

所以：，又，

所以：平面，平面，

所以：平面平面

（2）由（2）平面，

以为原点，方向为轴建立空间直角坐标系，

设正四棱锥的高，，

则，，，，，，

设平面的一个法向量

则：，

取，

则，

所以：

设平面的一个法向量，

则，

取，则，，

所以：二面角的余弦值是，

所以，，

解得：

考查方向

本题考查了立体几何中的面面垂直和二面角的问题．属于高考中的高频考点。

解题思路

本题考查导数的性质，解题步骤如下：

1、转化为证明线面垂直。

2、建立空间直角坐标系，利用夹角的余弦公式求解。

易错点

1、第一问中的面面垂直的转化。

2、第二问中二面角求解时要建立适当的空间直角坐标系。

知识点

平面与平面垂直的判定与性质二面角的平面角及求法

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