抽象函数及其应用
共45题

· 抽象函数及其应用

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题型：简答题

简答题 · 16 分

24．已知函数，如果存在给定的实数对，使得恒成立，则称为“函数”．

（1）判断函数是否是“函数”；

（2）若是一个“函数”，求出所有满足条件的有序实数对；

（3）若定义域为的函数是“函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时函数的值域．

正确答案

解：（1）若是“函数”，则存在常数，使得．

即时，对恒成立．而最多有两个解，矛盾，

因此不是“函数” ．

若是“函数”，则存在常数使得，

即存在常数对满足条件．因此是“函数” ．

（2）是一个“函数”，设有序实数对满足：

则恒成立．

当时，，不是常数．

因此，当时，

则有，

即恒成立．

即，

当，时，成立．

因此满足是一个“函数”，．

（3）函数是“函数”，且存在满足条件的有序实数对和，

于是

即，

，．时，

．

因此，

综上可知当时函数的值域为．

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知识点

抽象函数及其应用函数恒成立问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

12．定义在R上的函数满足，当时，，则函数在上有（）

A最小值

B最大值

C最小值

D有最大值

正确答案

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知识点

函数的最值及其几何意义抽象函数及其应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

10．已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（）

正确答案

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知识点

函数奇偶性的性质抽象函数及其应用函数的值

题型：简答题

简答题 · 18 分

23．对于函数，如果存在实数使得，那么称为的生成函数

（1）下面给出两组函数，是否分别为的生成函数？并说明理由；

第一组：；

第二组：；

（2）设，生成函数。若不等式在上有解，求实数的取值范围；

（3）设，取，生成函数图像的最低点坐标为。若对于任意正实数且。试问是否存在最大的常数，使恒成立？如果存在，求出这个的值；如果不存在，请说明理由。

正确答案

（1）① 设，即，

取，所以是的生成函数．

② 设，即，

则，该方程组无解．所以不是的生成函数．

（2）

，即，

也即

因为，所以

则

函数在上单调递增，．故，．

（3）由题意，得，则

，解得，所以

假设存在最大的常数，使恒成立．

于是设

令，则，即

设，．

设，

，，所以在上单调递减，

，故存在最大的常数

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知识点

抽象函数及其应用二次函数在闭区间上的最值两角和与差的正弦函数

题型：填空题

填空题 · 4 分

13．定义在R上的函数满足，当时，求=_______________

正确答案

-1

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知识点

函数奇偶性的性质抽象函数及其应用函数的值

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