函数奇偶性的性质
共128题

· 函数奇偶性的性质

函数奇偶性的性质
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题型：简答题

简答题 · 5 分

14．若函数，为偶函数，则实数_________．

正确答案

解析

由题意，则，即，．

考查方向

函数的奇偶性

解题思路

利用函数奇偶性质求解

易错点

对函数性质理解不透彻

知识点

函数奇偶性的性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

7.已知f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在上的偶函数，那么a＋b的值是 (　　)

B－1

C－1或3

正确答案

解析

由定义可知，再由定义域关于原点对称得，即或经检验不合，所以a＋b=3，故选A。

考查方向

本题考查了偶函数的概念及其性质。

解题思路

（1）由偶函数定义可得。

（2）由定义域关于原点对称可得

易错点

（1）忽视了偶函数的定义域关于原点对称这一条件。

（2）对于求出的，没有舍去。

知识点

函数奇偶性的性质

题型：简答题

简答题 · 13 分

15．已知函数，．

（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）设，若函数为奇函数，求的最小值。

正确答案

（Ⅰ），，；（Ⅱ）．

解析

试题分析：本题属于三角函数的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按步骤来求，（2）要注意三角恒等变换的正确性；

（Ⅰ）解：

，

所以函数的最小正周期．

由，，

得，

所以函数的单调递增区间为，．

（注：或者写成单调递增区间为，．

（Ⅱ）解：由题意，得，

因为函数为奇函数，且，

所以，即，

所以，，

解得，，验证知其符合题意．

又因为，

所以的最小值为．

考查方向

本题主要考查了三角恒等变换以及三角函数的图象与性质，三角函数的性质的考查主要分以下几类：

1．三角函数的定义域，

2．三角函数的单调性与最值，

3．三角函数的周期性，

4．三角函数的奇偶性或对称性．

解题思路

本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质，解题步骤如下：1．利用二倍角公式和配角公式将函数化成；2．利用正弦函数的周期公式求得函数的周期；3．利用整体思想和三角函数的单调性求其单调递增区间；4．由函数是奇函数，得到，再求角的取值。

易错点

1、第一问中的单调递增区间易错误写成集合的形式，或丢掉“”的注明；

2、第二问中易利用错误得到。

知识点

函数奇偶性的性质三角函数的周期性及其求法正弦函数的单调性三角函数中的恒等变换应用

题型：填空题

填空题 · 4 分

14.已知是定义在上的奇函数，

当时，，

若直线与函数的图象恰有7个不同的公共点，

则实数的取值范围为_________________.

正确答案

（，）

解析

解法一、由题意可得函数在区间段的解析式为

，

绘出函数的草图，

因为函数是定义在上的奇函数，由图象的对称性，原命题可以只考虑图象在第一象限内恰有三个不同的公共点；

图象可知，只有直线与函数在区间段内的图象相交，而与函数在区间段内的图象没有公共点时满足题设条件。

设直线与函数在区间段内相切的切点坐标为，由导数的几何意义，可得切线方程为，因为切线过原点，所以，化简为，解得，故舍去），所以切线的斜率为。同理可设设直线与函数在区间段内相切的切点坐标为，由导数的几何意义，可得切线方程为，因为切线过原点，所以，化简为，解得，故舍去），所以切线的斜率为。所以实数的取值范围为（，）

解法二：分析同上，原命题等价于（1）函数在区间内恰有两个不相等的根，解得（舍去）

（2）函数在区间内没有实数根，解得，（1）（2）取交集可得实数的取值范围为（，）

考查方向

本题主要考查了函数的奇偶性、分段函数以及曲线过某点的切线的斜率等知识，综合性较强，曲线的切线常与函数的零点等知识点交汇命题，综合考查，在近几年的各省高考题出现的频率较高。

解题思路

本题考查了考生综合知识求解问题的能力，数形结合处理最好。解题步骤如下：

（1）首先求出函数在定义域内各区间段内的函数解析式；

（2）画出函数图象的草图；

（3）由对称性，可以只考虑图象在第一象限内恰有三个不同的公共点；

（4）分析图象可知，直线与函数在区间段内的图象相交，而与函数在区间段内的图象没有公共点。

（5）由导数求切线的斜率得解。

当然，本题也可以利用二次函数的判别式法来处理，但是此法对此类问题并不通用，而且因为分段函数变量的取值有范围限制，本题得解显得容易，其他类似问题反而容易出错。

易错点

本题必须注意分段函数的范围，函数图像的对称性，忽视则会出现错误。

知识点

函数奇偶性的性质函数零点的判断和求解

题型：单选题

单选题 · 5 分

4．已知在上是奇函数,且满足,当时,，则（）

正确答案

解析

f(7)= f(4+3)=f(3)=- f(-3)=- f(4-3)=- f(1)

f(1)可代入中求解

考查方向

本题主要考查函数的周期性与奇偶性。

解题思路

利用周期性以及奇偶性将问题转化到（0，2）区间解决。

易错点

将f(7)转化到f(3)后无从下手

知识点

函数奇偶性的性质函数的周期性函数的值

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