函数奇偶性的性质_章节学习

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=，则f（）+ f（1）= 。

正确答案

-2

知识点

函数奇偶性的性质函数的周期性函数的值

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8.设函数则是

A奇函数，在（0,1）上是增函数

BB．奇函数，在（0,1）上是减函数

C．偶函数，在（0,1）上是增函数

D．偶函数，在（0,1）上是减函数

正确答案

A

解析

显然，f(x)的定义域为（-1,1），关于原点对称，又为奇函数，显然，f(x)在（0,1）上单调递增，故选A.

考查方向

本题主要考察函数的单调性和奇偶性等知识，意在考察考生对于函数性质的理解。.

解题思路

分求函数的定义域后发现其关于原点对称，后利用奇偶性的定义得到其为奇函数，最后利用奇函数在对称的区间上单调性相同，得到其单调性。

易错点

对于函数的性质不理解导致出错。

知识点

函数单调性的性质函数奇偶性的性质导数的几何意义

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10.已知R上的奇函数满足，则不等式的解集是（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

设

则，

设，则，由＞0得x＞1，由＜0得0＜x＜1，即当x=1时，函数取得极小值同时也是最小值h（1）=2，

∵，h（x）≥2，∴＞-2+2=0，

即＞0，即在（0，+∞）上为增函数，则当x=1时，

则不等式等价为＜0，即＜

则x＜1，即不等式的解集是（0，1），

∴所以选项B为正确选项

考查方向

本题主要考查了导数的综合应用,属于难题，是高考的热点

解题思路

构造函数g（x），求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．

易错点

构造函数g（x）错误

知识点

函数奇偶性的性质导数的运算其它不等式的解法

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12.设函数f’(x)是奇函数f (x)(x∈R)的导函数，f（-1）=0，当x>0时，x f’(x)－f (x)＜0，则使得f (x) >0成立的x的取值范围是( )

A(－∞，－1)∪(0，1)

B(－1，0)∪(1，＋∞)

C(－∞，－1)∪(－1，0)

D(0，1)∪(1，＋∞)

正确答案

A

知识点

函数奇偶性的性质导数的运算其它不等式的解法

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

设函数的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中为自然对数的底数．

26.求的解析式，并证明：当时，；

27.设，证明：当时，．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

，证明见解析

解析

试题分析：本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，由函数的奇偶性形成方程组求解出的解析式并用均值不等式去证明函数不等式；由的奇偶性及 ① 得 ②．

联立①②解得．当时，，故． ③又由基本不等式，有，即． ④

考查方向

本题考查了利用方程思想求解析式和证明函数不等式的方法；导数常应用在求函数的单调区间，极值、最值及恒成立问题等级的处理，最常用的方法是最值法和“分离参数法”。

解题思路

本题考查导数的应用，解题步骤如下：函数的奇偶性形成方程组求解出的解析式并用均值不等式去证明函数不等式。

易错点

对求解析式方法不熟导致出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析；

解析

试题分析：本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，由函数的奇偶性形成方程组求解出的解析式并用均值不等式去证明函数不等式；由的奇偶性及 ① 得 ②．

联立①②解得．当时，，故． ③又由基本不等式，有，即． ④

考查方向

本题考查了利用方程思想求解析式和证明函数不等式的方法；导数常应用在求函数的单调区间，极值、最值及恒成立问题等级的处理，最常用的方法是最值法和“分离参数法”。

解题思路

本题考查导数的应用，解题步骤如下：

观察所证不等式的结构构建新函数去证明所求不等式。

易错点

未发现的关系和用到第（1）问的结论。

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

13．设是定义在上的奇函数，且，设若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是________.

正确答案

解析

是定义在上的奇函数，且

f(0)=0,解得m=-1

则=2x+,

则当x>1时，函数为增函数，且当x1时，g（x）

当x 1时，函数为减函数，且当x1时，g（x）

由得，g(x)=t,做出图像如下，即图像只有一个交点可得实数的取值范围是

考查方向

本题主要考查了函数与方程的思想,在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与函数单调性、周期性、对称型、奇偶性等知识点交汇命题。

解题思路

函数与方程的思想，将函数的零点转化为方程的解、两个函数的交点，用函数的图形来处理。

易错点

1、对零点概念、方程与函数的思想理解不到位，不能准确地转化为函数来处理。

2、本题不容易理解有且只有一个零点含义，从而造成求解上的不精确。。

知识点

函数奇偶性的性质函数零点的判断和求解

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

（本小题满分12分，（1）小问7分，（2）小问5分）

设函数

23.若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；

24.若在上为减函数，求的取值范围。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

，切线方程为.

解析

试题分析：本题考查求复合函数的导数，导数与函数的关系，由求导法则可得，由已知得，可得，于是有，，，由点斜式可得切线方程．

试题解析：（1）对求导得

因为在处取得极值，所以，即.

当时，,故,从而在点处的切线方程为,化简得

考查方向

复合函数的导数，函数的极值，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．

解题思路

导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法.

易错点

极值的几何意义．

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

试题分析：（2）由题意在上恒成立，即在上恒成立，利用二次函数的性质可很快得结论，由得．

试题解析：（2）由（1）得，,

令

由，解得.

当时，,故为减函数；

当时，,故为增函数；

当时，,故为减函数；

由在上为减函数，知，解得

故a的取值范围为.

考查方向

复合函数的导数，切线，单调性．考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．

解题思路

导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；

易错点

本题涉及第一个点和第二个点，主要注意问题的转化，转化为不等式恒成立，转化为二次函数的性质．

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10.奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则的值为（）

A2

B1

C

D

正确答案

A

解析

考查方向

该题主要考察了函数奇偶性的性质，奇偶函数图象的对称性，函数的周期性，该题属于综合类，比较难

解题思路

该题解题思路

1）为偶函数得出函数关于x=1对称，为奇函数得出关于原点对称

2）根据对称性得出函数为周期函数，周期T=4

3）利用周期性易得取值

易错点

主要易错于为偶函数对应的性质

知识点

函数奇偶性的性质函数的值

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

13．已知函数f(x)=(9x+1)·9kx(k∈R)为偶函数，则实数k的值为．

正确答案

解析

由题意知对于恒成立，则由，，即，于是由，得．

考查方向

本题主要考查了偶函数的定义，考查考生的知识的应用能力。

解题思路

由于函数为偶函数，所以有，等价于即，从而解得。另：也可以用特殊值法求出k的值。

易错点

对偶函数的定义理解不清导致出错。

知识点

函数奇偶性的判断函数奇偶性的性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10.已知是定义在上的偶函数，

且当时不等式恒成立，

若，，，

则的大小关系是（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

试题分析：令，则，所以当时，，即单调递减．又是定义在上的偶函数，所以是奇函数且为减函数．因为，，，所以，故选D．

考查方向

本题主要考查了函数的奇偶性、导数的应用等知识点，为高考必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与函数的性质、导数的应用等知识点交汇命题。

解题思路

构造函数，利用其单调性、奇偶性即可判断其大小关系。

易错点

不能构造出新函数导致出错。

知识点

函数奇偶性的性质指数幂的运算对数值大小的比较导数的运算

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