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题型:简答题
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简答题 · 13 分

正确答案

见解析

解析

分别以轴建立空间直角坐标系,

.__________(建系正确,坐标写对给3分)

(1) 证明方法一::四边形是平行四边形,

平面,又

平面. __________4分

方法二:易证是平面平面的一个法向量,平面.______4分

(2)方法一:设的中点为,在平面内作

平行且等于,连接,则四边形为平行四边形,_____6分

平面平面

∥平面中点时,∥平面.__________8分

方法二:

上一点,使∥平面

可求得平面法向量

∥平面,解得.

中点时,∥平面.

(3)可求得平面法向量,__________10分

所求二面角的余弦值为.__________13分

知识点

平面的概念、画法及表示
1
题型:简答题
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简答题 · 10 分

如图,在△中,的中点,的中点,的延长线交

(1)求的值;(4分)

(2)若△的面积为,四边形的面积为,求的值,  (6分)

正确答案

见解析。

解析

(1)过D点作DG∥BC,并交AF于G点,∵E是BD的中点,∴BE=DE,

又∵∠EBF=∠EDG,∠BEF=∠DEG,∴△BEF≌△DEG,则BF=DG,

∴BF:FC=DG:FC,又∵D是AC的中点,则DG:FC=1:2,

则BF:FC=1:2;即(4分)

(2)若△BEF以BF为底,△BDC以BC为底,则由(1)知BF:BC=1:3,又由BE:BD=1:2可知=1:2,其中分别为△BEF和△BDC的高,则,则=1:5.(10分)

知识点

平面的概念、画法及表示
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图所示,三棱锥中,底面,侧棱与底面角,,且的中点,求异面直线AE与BD所成角的大小(结果用反三角表示).

正确答案

见解析

解析

(方法一):取中点,连,如图2.则,且,所以或其补角就是异面直线所成的角。

因为底面斜交底面,则就是侧棱与底面

所成的角,即。在平面中,

 ,则

,得

中,;在中,

∴ 异面直线所成角的大小为.

(方法二):以为坐标原点、以分别为轴、轴、轴正向,如图3,建立空间直角坐标系。由底面

斜交底面,则就是侧棱与底面所成的角,即

,得

中点为,则

设异面直线所成的角为,向量的夹角为,则

∴ 异面直线所成角大小为.

知识点

平面的概念、画法及表示
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,已知是底面边长为1的正四棱柱,

(1)证明:平面平面

(2)当二面角的平面角为120°时,求四棱锥的体积。

正确答案

见解析。

解析

(1)

平面平面

,又

平面

(2)方法一:

建立如图所示的空间直角坐标系,设,那么

假设平面与平面的法向量分别为,那么

同理可以求得:

此时,正四棱柱是棱长为1的正方体,且

四棱锥的体积

方法二:

过点,连接,

容易证得=

所以,且在中,由余弦定理可得:

所以==,又可证得:

,所以在,由等面积法:

=,

所以

此时,正四棱柱是棱长为1的正方体,且

四棱锥的体积

知识点

平面的概念、画法及表示
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图6,四棱柱的底面是平行四边形,且的中点,

平面

(1)证明:平面平面

(2)若,试求异面直线

所成角的余弦值。

正确答案

见解析。

解析

(1)依题意,,所以是正三角形,,又,所以,因为平面平面,所以,因为,所以平面,因为平面,所以平面平面

(2)取的中点,连接,连接,则,所以是异面直线所成的角。因为,所以

,所以

(方法二)以为原点,过且垂直于的直线为轴,所在直线为轴、所在直线为建立右手系空间直角坐标系,设),则

(1)设平面的一个法向量为,则

,取,则,从而,同理可得平面的一个法向量为,直接计算知,所以平面平面

(2)由,解得

所以异面直线所成角的余弦值

知识点

平面的概念、画法及表示
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是直角梯形ABCD,其中AD⊥AB,CD∥AB,AB=4,CD=2,侧面PAD是边长为2的等边三角形,且与底面ABCD垂直,E为PA的中点。

(1)求证:DE∥平面PBC;

(2)求二面角的余弦值。

正确答案

见解析。

解析

(1)

法一  如图,取AB的中点F,连接DF,EF。

在直角梯形ABCD中,CD∥AB,且AB=4,CD=2,所以

所以四边形BCDF为平行四边形,所以DF∥BC,(2分)

在△PAB中,PE=EA,AF=FB,所以EF//PB。

又因为DFEF=F,PBBC=B,所以平面DEF∥平面PBC。

因为DE平面DEF,所以DE∥平面PBC,(4分)

法二

取PB的中点M,连接CM,ME。

在△PAB中,PE=EA,PM=MB,所以

在直角梯形ABCD中,CD∥AB,且AB=4,CD=2,

,所以,(2分)

所以四边形CDEM为平行四边形,故DE∥CM。

因为CM平面PBC,DE平面PBC,

所以DE∥平面PBC,(4分)

(2)取AD的中点O,BC的中点N,连接ON,则ON∥AB。

在△PAD中,PA=PD=AD=2,所以PO⊥AD,

又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,

所以PO⊥平面ABCD,(6分)

如图,以O为坐标原点;分别以OA,ON,OP所在直线为轴建立空间直角坐标系,则

因为E为PA的中点,所以,故,(8分)

因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO⊥AD,

所以PO⊥平面ABD,故为平面ABD的一个法向量。

设平面EBD的法向量为

,得,即

,则,所以为平面EBD的一个法向量,(10分)

所以

设二面角的大小为,由图可知,所以,(12分)

知识点

平面的概念、画法及表示
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,四棱锥的底面ABCD是菱形,其对角线AE、CF都与平面ABCD垂直,AE=1,CF=2.

(1)求二面角的大小;

(2)求四棱锥与四棱锥公共部分的体积。

正确答案

见解析

解析

(1)方法一:如图(1)连结AC、BD交于菱形的中心O,过O

作OG⊥AF,G为垂足. 连结BG、DG.

由BD⊥AC,BD⊥CF,得BD⊥平面ACF,  故BD⊥AF. 于是AF⊥平面BGD,

所以BG⊥AF,DG⊥AF,∠BGD为二面角B-AF-D的平面角. …………………3分

由FC⊥AC,FC=AC=2,得∠FAC.

由OB⊥OG,OB=OD=,得∠BGD=2∠BGO.

即二面角B-AF-D的大小为.……………………………6分

方法二:设AC与BD交点为O,以O为坐标原点,分别以BD 、AC所在直线为x轴

y轴建立如图所示的空间直角坐标系

则A(0,-1,0),B(,0,0),D(,0,0),F(0,1,2)

………………………………2分

设平面ABF,平面ADF的法向量分别为

………………………………4分

同理可得   ∴  ∴

∴二面角B-AF-D的大小为…………………………………………………6分

(2)如图(2)连EB、EC、ED,设直线AF与直线CE相交于点H,

则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD.

过H作HP⊥平面ABCD,所以平面ACFE⊥平面ABCD,

从而.   ……………………………7分

,得.……………………9分

又因为

故四棱锥的体积.……………12分

知识点

平面的概念、画法及表示
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,矩形,满足B、C在上,上,且,BC=2,沿将矩形折起成为一个直三棱柱,使重合后分别记为,在直三棱柱中,点M、N分别为的中点。

(1)证明:MN∥平面

(2)若二面角为直二面角,求的值。

正确答案

见解析

解析

解析:(1)证:连结DB1 、DC∵四边形DBB1D1为矩形,M为D1B的中点 ……2分

∴M是DB1与D1B的交点,且M为DB1的中点

∴MN∥DC1,∴MN∥平面DD1C1C                          ……………4分

(2)解:四边形为矩形,B.C在A1A2上,B1.C1上,

且BB1∥CC1,A1B = CA2 = 2,

∴∠BDC = 90°                                        ……………6分

以DB、DC、DD1所在直线分别为x.y.z轴建立直角坐标系,则

D(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,),B1(2,0,),C1(0,2,)

点M、N分别为D1B和B1C1的中点,∴

设平面D1MN的法向量为m = (x,y,z),则

令x = 1得:

                                         ……………8分

设平面MNC的法向量为n = (x,y,z),则

,令z = 1得:

                                     ……………10分

∵二面角D1-MN-C为直二面角    ∴mn,故,解得:

∴二面角D1-MN-C为直二面角时,。     ……………12分

知识点

平面的概念、画法及表示
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

函数的部分图象如图所示,若,则等于(  )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

,∴,∵,∴,∴,过轴,垂足为,∵,∴,∴,∴,故选A。

知识点

平面的概念、画法及表示
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示,分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数,分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差,则有(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由题意可知,则,故选C。

知识点

平面的概念、画法及表示
下一知识点 : 直线、平面平行的判定与性质
百度题库 > 高考 > 理科数学 > 空间点、线、面的位置关系

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