热门试卷

分别以为、、轴建立空间直角坐标系，

则.__________（建系正确，坐标写对给3分）

（1） 证明方法一：：四边形是平行四边形，，

平面，又，，

平面. __________4分

方法二：易证是平面平面的一个法向量，平面.______4分

（2）方法一：设的中点为，在平面内作于，

则平行且等于，连接，则四边形为平行四边形，_____6分

∥，平面，平面，

∥平面，为中点时，∥平面.__________8分

方法二：

设为上一点，使∥平面，

令，

可求得平面法向量，

要∥平面，，解得.

为中点时，∥平面.

（3）可求得平面法向量，__________10分

所求二面角的余弦值为.__________13分

（1）过D点作DG∥BC，并交AF于G点，∵E是BD的中点，∴BE=DE，

又∵∠EBF=∠EDG，∠BEF=∠DEG，∴△BEF≌△DEG，则BF=DG，

∴BF：FC=DG：FC，又∵D是AC的中点，则DG：FC=1：2，

则BF：FC=1：2；即（4分）

（2）若△BEF以BF为底，△BDC以BC为底，则由（1）知BF：BC=1：3，又由BE：BD=1：2可知：=1：2，其中、分别为△BEF和△BDC的高，则，则=1：5.（10分）

（方法一）：取中点，连和，如图2.则，且，所以或其补角就是异面直线与所成的角。

因为底面于，斜交底面于，则就是侧棱与底面

所成的角，即。在平面中，

， ，则

。

设，得、；

在中，；在中，，，

在，

∴ 异面直线与所成角的大小为.

（方法二）：以为坐标原点、以分别为轴、轴、轴正向，如图3，建立空间直角坐标系。由底面于，

斜交底面于，则就是侧棱与底面所成的角，即。

设，得，；

、、；

中点为，则、，

设异面直线与所成的角为，向量与的夹角为，则

，

∴ 异面直线与所成角大小为.

（1）

平面，平面

，又

又平面

（2）方法一：

建立如图所示的空间直角坐标系，设，那么；；；；

；；；

假设平面与平面的法向量分别为；，那么

；令

同理可以求得：

，

此时，正四棱柱是棱长为1的正方体，且

四棱锥的体积

方法二：

过点作于，连接,

容易证得，=

所以，且在中，由余弦定理可得：

所以==，又可证得：

,所以在,由等面积法：

=,

即

所以，

此时，正四棱柱是棱长为1的正方体，且

四棱锥的体积

（1）依题意，，所以是正三角形，，又，所以，，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面。

（2）取的中点，连接、，连接，则，所以是异面直线与所成的角。因为，，所以，，

，所以

（方法二）以为原点，过且垂直于的直线为轴，所在直线为轴、所在直线为建立右手系空间直角坐标系，设（），则，，，。

（1）设平面的一个法向量为，则

，，取，则，从而，同理可得平面的一个法向量为，直接计算知，所以平面平面。

（2）由即，解得。，，

所以异面直线与所成角的余弦值

（1）

法一  如图，取AB的中点F，连接DF，EF。

在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以，

所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC，（2分）

在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF//PB。

又因为DFEF=F，PBBC=B，所以平面DEF∥平面PBC。

因为DE平面DEF，所以DE∥平面PBC，（4分）

法二

取PB的中点M，连接CM，ME。

在△PAB中，PE=EA，PM=MB，所以。

在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，

故，所以，（2分）

所以四边形CDEM为平行四边形，故DE∥CM。

因为CM平面PBC，DE平面PBC，

所以DE∥平面PBC，（4分）

(2)取AD的中点O，BC的中点N，连接ON，则ON∥AB。

在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，，

又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，

所以PO⊥平面ABCD，（6分）

如图，以O为坐标原点；分别以OA，ON，OP所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，。

因为E为PA的中点，所以，故，，（8分）

因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PO⊥AD，

所以PO⊥平面ABD，故为平面ABD的一个法向量。

设平面EBD的法向量为，

由，得，即，

令，则，，所以为平面EBD的一个法向量，（10分）

所以。

设二面角的大小为，由图可知，所以，（12分）

（1）方法一：如图（1）连结AC、BD交于菱形的中心O，过O

作OG⊥AF，G为垂足. 连结BG、DG.

由BD⊥AC，BD⊥CF，得BD⊥平面ACF，  故BD⊥AF. 于是AF⊥平面BGD，

所以BG⊥AF，DG⊥AF，∠BGD为二面角B-AF-D的平面角. …………………3分

由FC⊥AC，FC=AC=2，得∠FAC，.

由OB⊥OG，OB=OD=，得∠BGD=2∠BGO.

即二面角B-AF-D的大小为.……………………………6分

方法二：设AC与BD交点为O，以O为坐标原点，分别以BD 、AC所在直线为x轴

y轴建立如图所示的空间直角坐标系

则A(0，－1，0)，B(，0，0)，D(，0，0)，F(0，1，2)

，，………………………………2分

设平面ABF，平面ADF的法向量分别为

设

由

令………………………………4分

同理可得   ∴  ∴

∴二面角B－AF－D的大小为…………………………………………………6分

（2）如图（2）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，

则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD.

过H作HP⊥平面ABCD，所以平面ACFE⊥平面ABCD，

从而.   ……………………………7分

由，得.……………………9分

又因为

故四棱锥的体积.……………12分

解析：（1）证：连结DB1 、DC1  ∵四边形DBB1D1为矩形，M为D1B的中点 ……2分

∴M是DB1与D1B的交点，且M为DB1的中点

∴MN∥DC1，∴MN∥平面DD1C1C                          ……………4分

（2）解：四边形为矩形，B.C在A1A2上，B1.C1在上，

且BB1∥CC1∥，A1B = CA2 = 2，，

∴∠BDC = 90°                                        ……………6分

以DB、DC、DD1所在直线分别为x.y.z轴建立直角坐标系，则

D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，)，B1(2，0，)，C1(0，2，)

点M、N分别为D1B和B1C1的中点，∴

设平面D1MN的法向量为m = (x，y，z)，则

，

令x = 1得：

即                                         ……………8分

设平面MNC的法向量为n = (x，y，z)，则

，令z = 1得：

即                                     ……………10分

∵二面角D1－MN－C为直二面角    ∴m⊥n，故，解得：

∴二面角D1－MN－C为直二面角时，。     ……………12分